Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，AC，BD相交于點O，BC＝2OC，E為AB邊上一點.

（1）若CE＝6，∠ACE＝15°，求BC的長；

（2）若F為BO上一點，且BF＝EF，G為CE中點，連接FG，AG，求證：

Answer 1

【答案】（1）BC=+；（2）見解析；

【解析】

（1）過點E作EM⊥BC于點M，由菱形的性質和已知條件可得AB=BC=AC，進一步利用銳角三角函數解RT△CEM和RT△BEM,求出BM和CM的值，相加即可得到BC的長；

（2）延長FG至點H，使GH＝FG，連接CH，AH．先證△EFG≌△CHG得到CH＝BF，CH∥EF，再延長EF交BC于點K，證△AFB≌△AHC，進一步證得∠AFH=60°，最后由三角函數可得出.

（1）過點E作EM⊥BC于點M,

∵四邊形ABCD是菱形，AC與BD交于點O

∴AB=BC,AC=2CO

∵BC=2CO

∴AB=BC=AC

∴∠ACB=∠ABC=60°

∵∠ACE=15°

∴∠ECB=∠ACB—∠ACE=45°

∴CM=EM=CE=

∴BM=EM=

∴BC= CM+BM=+

（2）證明：延長FG至點H，使GH＝FG，連接CH，AH．

∵G為CE中點，∴EG＝GC，

在△EFG與△CHG中，

，

△EFG≌△CHG（SAS），

∴EF＝CH，∠CHG＝∠EFG，

∴CH＝BF，CH∥EF，

延長EF交BC于點K

∵菱形ABCD中，BD平分∠ABC∴∠ABF=∠ABC=30°

∵BF=EF ∴∠BEF=∠ABF =30°

又∵∠ABC=60°∴∠EKB＝90°

∵CH//EF ∴∠HCB＝∠EKB＝90°

∴∠ACH＝∠HCB—∠ACB＝90°﹣60°＝30°，

∴∠ABF＝∠ACH

∵BF=EF,EF=CH

∴BF=CH

在△AFB與△AHC中，

△AFB≌△AHC（SAS），

∴AF＝AH，∠BAF＝∠CAH

∵FG＝GH，

∴AG⊥FG

∵∠BAC＝∠BAF+∠FAC＝60°，

∴∠CAH+∠FAC＝60°，

即∠FAH＝60°，

∴∠AFH=60°

∴AG=FG