Question

【題目】如圖所示，AB是⊙O的直徑，AE是弦，C是劣弧AE的中點，過C作CD⊥AB于點D，CD交AE于點F，過C作CG∥AE交BA的延長線于點G．

（1）求證：CG是⊙O的切線．

（2）求證：AF＝CF．

（3）若sinG＝0.6，CF＝4，求GA的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）AG＝5．

【解析】

（1）利用垂徑定理、平行的性質，得出OC⊥CG，得證CG是⊙O的切線.

（2）利用直徑所對圓周角為和垂直的條件得出∠2=∠B，再根據等弧所對的圓周角相等得出∠1=∠B，進而證得∠1=∠2，得證AF=CF.

（3）根據直角三角形的性質，求出AD的長度，再利用平行的性質計算出結果.

（1）證明：連結OC，如圖，

∵C是劣弧AE的中點，

∴OC⊥AE，

∵CG∥AE，

∴CG⊥OC，

∴CG是⊙O的切線；

（2）證明：連結AC、BC，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°，

∴∠2+∠BCD＝90°，

而CD⊥AB，

∴∠B+∠BCD＝90°，

∴∠B＝∠2，

∵C是劣弧AE的中點，

∴,

∴∠1＝∠B，

∴∠1＝∠2，

∴AF＝CF；

（3）解：∵CG∥AE，

∴∠FAD＝∠G，

∵sinG＝0.6，

∴sin∠FAD＝＝0.6，

∵∠CDA＝90°，AF＝CF＝4，

∴DF＝2.4，

∴AD＝3.2，

∴CD＝CF+DF＝6.4，

∵AF∥CG，

∴,

∴

∴DG＝，

∴AG＝DG﹣AD＝5．