Question

已知α，β是關于x的一元二次方程x²-2ax+a+6=0的兩個實根，則（α-1）²+（β-1）²的最小值為

 

．

Answer 1

分析：先求出兩根之和與兩根之積的值，再將（α-1）²+（β-1）²化簡成兩根之和與兩根之積的形式，最后利用二次函數的性質求最小值．

解答：解：∵一元二次方程x²-2ax+a+6=0有兩個實根；
∴△=4a²-4×（a+6）=4a²-4a-24≥0；
解得：a≤-2或a≥3；
∵α，β是關于x的一元二次方程x²-2ax+a+6=0的兩個實根；
∴α+β=2a，α•β=a+6；
（α-1）²+（β-1）²=α²+1-2α+β²-2β+1=α²+β²-2（β+α）+2
=（α+β）²-2αβ-2（α+β）+2
=4a²-2×（a+6）-2×2a+2
=4a²-6a-10
=4（a-

3

4

）²-

49

4

；
∵a≤-2或a≥3；
∴（a-

3

4

）²≥（

9

4

）²；
∴4（a-

3

4

）²-

49

4

≥8；
則（α-1）²+（β-1）²的最小值為8．

點評：本題是利用根與系數的關系，把求代數式的最值的問題轉化為關于同一個字母的二次三項式的求值問題，從而利用配方法進行判斷．