Question

已知a、b是關于x的方程x²-（2k+1）x+k（k+1）=0的兩個實數根，則a²+b²的最小值是

 

．

Answer 1

分析：根據a²+b²=（a+b）²-2ab=（2k+1）²-2k（k+1），根據一元二次方程根與系數的關系，可以求得兩根之積或兩根之和，代入即可得到關于k的代數式，轉化為求代數式的最小值問題．

解答：解：由題意知，a+b=2k+1，ab=k（k+1）
∴a²+b²=（a+b）²-2ab
=（2k+1）²-2k（k+1）
=4k²+4k+1-2k²-2k=2k²+2k+1=2（k+

1

2

）²+

1

2

，
∴a²+b²的最小值是

1

2

．

點評：將根與系數的關系與代數式變形相結合解題是一種經常使用的解題方法．