Question

【題目】如圖，點O是等邊△ABC內一點，D是△ABC外的一點，∠AOB=110°，∠BOC=α，△BOC≌△ADC，∠OCD=60°，連接OD．

（1）求證：△OCD是等邊三角形；

（2）當α=150°時，試判斷△AOD的形狀，并說明理由；

（3）△AOD能否為等邊三角形？為什么？

（4）探究：當α為多少度時，△AOD是等腰三角形．

Answer 1

【答案】(1)、證明過程見解析；(2)、直角三角形、理由見解析；(3)、不能，理由見解析；(4)、α=110°或125°或140°

【解析】

試題分析：(1)、根據△BOC≌△ADC得到OC=DC，結合∠OCD=60°，從而得出等邊三角形；(2)、根據△BOC≌△ADC，∠α=150°得到∠ADC=∠BOC=150°，根據等邊三角形得到∠ODC=60°，從而得出∠ADO=90°，從而得到三角形的形狀；(3)、由△BOC≌△ADC，得∠ADC=∠BOC=∠α，當△AOD為等邊三角形時，則∠ADO=60°，結合∠ODC=60°得出∠ADC=120°，又根據∠AOD=∠DOC=60°得出∠AOC=120°，從而求出∠AOC+∠AOB+∠BOC≠360°，從而得到答案；(4)、根據△OCD是等邊三角形得到∠COD=∠ODC=60°，根據三角形的性質得出∠ADC=∠BOC=α，∠AOD=190°－α，∠OAD=50°，然后分三種情況分別求出α的大小.

試題解析：(1)、∵△BOC≌△ADC，∴OC=DC．∵∠OCD=60°，∴△OCD是等邊三角形．

(2)、△AOD是Rt△．理由如下：

∵△OCD是等邊三角形，∴∠ODC=60°， ∵△BOC≌△ADC，∠α=150°，∴∠ADC=∠BOC=∠α=150°，

∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=150°-60°=90°，∴△AOD是Rt△．

(3)、不能.理由：由△BOC≌△ADC，得∠ADC=∠BOC=∠α.

若△AOD為等邊三角形，則∠ADO=60°，又∠ODC=60°，∴∠ADC=∠α=120°.

又∠AOD=∠DOC=60°，∴∠AOC=120°，又∵∠AOB=110°，

∴∠AOC+∠AOB+∠BOC=120°+120°+110°=350°<360°． 所以△AOD不可能為等邊三角形.

(4)、∵△OCD是等邊三角形，∴∠COD=∠ODC=60°． ∵∠AOB=110°，∠ADC=∠BOC=α，

∴∠AOD=360°-∠AOB-∠BOC-∠COD=360°-110°-α-60°=190°-α， ∠ADO=∠ADC-∠ODC=α-60°，

∴∠OAD=180°-∠AOD-∠ADO=180°-（190°-α）-（α-60°）=50°．

①當∠AOD=∠ADO時，190°-α=α-60°，∴α=125°．

②當∠AOD=∠OAD時，190°-α=50°，∴α=140°．

③當∠ADO=∠OAD時，α-60°=50°，∴α=110°．

綜上所述：當α=110°或125°或140°時，△AOD是等腰三角形．