Question

【題目】請認真閱讀材料，并解決下面問題：

（1）以 a 、b 為直角邊，以 c 為斜邊做四個全等的直角三角形，把這四個直角三角形拼成如圖所示形狀，使 A 、 E 、 B 三點在一條直線上， B 、 F 、C 三點在一條直線上， C 、G 、D 三點在一條直線上。容易得到：四邊形 ABCD 和四邊形 EFGH 均是正方形；請用兩個不同的代數式 和 表示正方形ABCD 的面積；于是可得到直角三角形關于三邊的一個重要的等量關系是 （用含字母 a 、b 、 c 的最簡式子填空）

（2）如圖，已知正方形 ABCD 中，MAN 45 ，MAN 繞點A 順時針旋轉，它的兩邊分別交CB 、DC 于點 M 、 N ， AH MN 于點 H 。請問： MN 與BM 、 DN 之間有何數量關系？請說明理由；

（3）如圖，在（2）的情況下，

①請判斷 AH 與 AB 之間的數量關系，并說明理由；

②已知 AH 12 ，若 N 還是CD 的中點，結合（1）的結論，求 BM 的長。

Answer 1

【答案】(1) （a+b）2，2ab+c2，c2=a2+b2; (2)見詳解；（3）①AB=AH；②4.

【解析】

（1）根據正方形ABCD的面積等于邊長的平方或者等于4個全等的直角三角形與正方形EFGH的面積和，可列出不同的代數式，根據代數式可得等量關系式；
（2）延長CB，使BE=DN，連接AE，由題意可證△ABE≌△ADN，可得AE=AN，∠EAB=∠DAN，可得∠EAM=∠MAN=45°，即可證△EAM≌△NAM，
即可得MN=DN+BM；
（3）①由△EAM≌△NAM，可得S△EAM=S△NAM，即×EM×AB=×MN×AH，且EM=MN，可得AB=AH；
②由題意可求BC=AB=CD=12，CN=DN=BE=6，根據勾股定理可求BM的長．

解：（1）∵正方形ABCD的面積=（a+b）2，正方形ABCD的面積=4×ab+c2=c2+2ab
∴c2=a2+b2
故答案為：（a+b）2，2ab+c2，c2=a2+b2．
（2）MN=BM+DN
如圖：延長CB，使BE=DN，連接AE

∵四邊形ABCD是正方形
∴AB=AD=BC=CD，∠ADC=∠ABC=∠BCD=90°=∠BAD
∵BE=DN，AB=AD，∠ADC=∠ABE
∴△ABE≌△ADN（SAS）
∴AE=AN，∠EAB=∠DAN
∵∠MAN=45°，∠BAD=90°
∴∠BAM+∠DAN=45°
∴∠BAM+∠EAB=45°
∴∠EAM=∠MAN，且AM=AM，AE=AN
∴△EAM≌△NAM（SAS）
∴MN=EM
∵EM=BM+BE=BM+DN
∴MN=BM+DN
（3）①∵△EAM≌△NAM
∴S△EAM=S△NAM
∴×EM×AB=×MN×AH，且EM=MN
∴AB=AH
②∵AH=12，
∴AB=12
∴CD=BC=12
∵點N是CD的中點
∴CN=DN=BE=6
∴MN=BM+6
在Rt△MNC中，MN2=CM2+CN2．
∴（BM+6）2=（12-BM）2+36
∴BM=4