Question

閱讀材料關(guān)于x的方程ax²+bx+c=0（a、b、c為常數(shù)，且a≠0，b²-4ac≥0）
的兩根為x₁=

-b+ b2-4ac

2a

x2=

-b- b2-4ac

2a

，則我們通過計算可得：x1+x2=

-b+ b2-4ac

2a

+

-b- b2-4ac

2a

=-

b

a

x1•x2=

-b+ b2-4ac

2a

•

-b- b2-4ac

2a

=

c

a

即：若x₁和x₂是方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩個根，那么x1+x2=-

b

a

，x1•x2=

c

a

．
解決問題：
（1）若x₁和x₂是方程2x²-3x-6=0的兩個根，求x₁²x₂+x₁x₂²的值．
（2）若x₁和x₂是方程2x²+4x+m=0的兩個根，求x₁²+x₂²的最小值．

Answer 1

分析：（1）把所求式子進行因式分解，再利用根與系數(shù)的關(guān)系求則可．
（2）把所求式子整理為兩根之和與兩根之積的形式，代入數(shù)值，再討論式子的最小值．

解答：解：（1）由題可知x1+x2=-

-3

2

=

3

2

，x1•x2=

-6

2

=-3，
∴

x

2 1

x2+x1

x

2 2

=x1x2(x1+x2)=

3

2

×(-3)=-

9

2

，

（2）由題可知x1+x2=-

4

2

=-2，x1•x2=

m

2

，
∴

x

2 1

+

x

2 2

=(x1+x2)2-2x1x2=(-2)2-2×

m

2

=4-m，
∵b²-4ac≥0即4²-4×2×m≥0，解得m≤2，
∴當m=2時，x₁²+x₂²的最小值為4-2=2．

點評：本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及根的判別式，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法，需注意運用根的判別式求出m的取值范圍．