Question

【題目】在平面直角坐標系中，對于點和點給出如下定義：若，則稱點為點的絕對點．例如：點的絕對點坐標是，點的絕對點坐標是．

（1）點的絕對點坐標是_______．

（2）若點在函數的圖像上，其絕對點的縱坐標的取值范圍為，求的取值范圍；

（3）若點在關于的二次函數圖像上，其絕對點的縱坐標的取值范圍是或，其中，令，是否存在使得有最大值，若有請求出的最大值及此時的值；若無，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）3≤k≤5；（3）存在，當t=-時，S取得最大值．

【解析】

（1）根據給出的定義可直接得出結果；

（2）根據題意可知y=x-1（-3≤x≤k，k＞-3）的圖象上的點P的絕對點Q必在函數的圖象上，結合圖象即可得到答案；
（3）首先求出的頂點坐標，根據題意圖象上的點P的絕對點Q必在函數n′＝的圖象上，結合-2t與-1的關系確定y的最值，進而用a和b表示出s，根據t的取值范圍求出s的取值范圍．

解：（1）根據新定義，

∵＜-1，∴點的絕對點坐標是，

故答案為：；

（2）依題意，y=x-1（-3≤x≤k，k＞-3）圖象上的點P的絕對點Q必在函數n′=的圖象上（如圖1）．

當x=-1時，n′取最小值，n′=-1-1=-2，
當n′=4時，x-1=4或1-x=4，∴x=5或x=-3，
當n′=2時，x-1=2，∴x=3．
∵-2≤n′≤4，
∴由圖象可知，k的取值范圍是：3≤k≤5；
（3）存在．理由如下：

∵y=-x2-4tx+4t2+3t=-（x+2t）2+8t2+3t，∴頂點坐標為（-2t，8t2+3t）．

圖象上的點P的絕對點Q必在函數n′＝的圖象上．

Ⅰ．若-2t≥-1，如圖2，

當x＜-1時，n′＞|-（-1+2t）2+8t2+3t|=|4t2+7t-1|，即a=-4t2-7t+1；
當x≥-1時，n′≤8t2+3t，即b=8t2+3t．

則s=a-b=-12t2-10t+1=-12(t+)2+，

∴當t=-時，s取得最大值；

Ⅱ．若-2t＜-1，如圖3，

當x＜-1時，n′≥0，當x≥-1時，n′≤4t2+7t-1，

與的取值范圍是或不符，舍去．

綜上所述，當t=-時，s取得最大值．