Question

【題目】如圖所示，已知二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C對稱軸為直線x=1．直線y=﹣x+c與拋物線y=ax2+bx+c交于C、D兩點，D點在x軸下方且橫坐標小于3，則下列結論：

①2a+b+c＞0；②a﹣b+c＜0；③x（ax+b）≤a+b；④a＜﹣1．

其中正確的有（　　）

A. 4個 B. 3個 C. 2個 D. 1個

Answer 1

【答案】A

【解析】利用拋物線與y軸的交點位置得到c＞0，利用對稱軸方程得到b=﹣2a，則2a+b+c=c＞0，于是可對①進行判斷；利用拋物線的對稱性得到拋物線與x軸的另一個交點在點（﹣1，0）右側，則當x=﹣1時，y＜0，于是可對②進行判斷；根據二次函數的性質得到x=1時，二次函數有最大值，則ax2+bx+c≤a+b+c，于是可對③進行判斷；由于直線y=﹣x+c與拋物線y=ax2+bx+c交于C、D兩點，D點在x軸下方且橫坐標小于3，利用函數圖象得x=3時，一次函數值比二次函數值大，即9a+3b+c＜﹣3+c，然后把b=﹣2a代入解a的不等式，則可對④進行判斷．

∵拋物線與y軸的交點在x軸上方，

∴c＞0，

∵拋物線的對稱軸為直線x=﹣=1，

∴b=﹣2a，

∴2a+b+c=2a﹣2a+c=c＞0，所以①正確；

∵拋物線與x軸的一個交點在點（3，0）左側，

而拋物線的對稱軸為直線x=1，

∴拋物線與x軸的另一個交點在點（﹣1，0）右側，

∴當x=﹣1時，y＜0，

∴a﹣b+c＜0，所以②正確；

∵x=1時，二次函數有最大值，

∴ax2+bx+c≤a+b+c，

∴ax2+bx≤a+b，所以③正確；

∵直線y=﹣x+c與拋物線y=ax2+bx+c交于C、D兩點，D點在x軸下方且橫坐標小于3，

∴x=3時，一次函數值比二次函數值大，

即9a+3b+c＜﹣3+c，

而b=﹣2a，

∴9a﹣6a＜﹣3，解得a＜﹣1，所以④正確，

故選A．