Question

如圖，△ABC中，以BC為直徑的圓交AB于點D，∠ACD=∠ABC．
（1）求證：CA是圓的切線；
（2）若點E是BC上一點，已知AE=6，∠ABC=25°，∠AEC=50°，求圓的直徑．（精確到0.1）

Answer 1

（1）證明：∵BC為圓的直徑，∴∠BDC=90°，
∴∠ABC+∠DCB=90°，又∠ACD=∠ABC，
∴∠ACD+∠DCB=90°，即∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，BC為圓的直徑，
則CA為圓的切線；
（2）在Rt△AEC中，tan∠AEC=tan50°=

AC

CE

，即CE=

AC

tan50°

，
在Rt△ABC中，tan∠ABC=tan25°=

AC

BC

，即BC=

AC

tan25°

，
∵BC-EC=BE，BE=6，
∴

AC

tan25°

-

AC

tan50°

=6，即AC=

6

1 tan25° - 1 tan50°

，
則BC=

6 1 tan25° - 1 tan50°

tan25°

≈2.2．