Question

如圖，已知在△ABC中，AB=AC=6，cosB=

1

3

?點O在邊AB上，⊙O過點B且分別與邊AB、BC交于點D、E，且EF⊥AC，垂足為F，設OB=x，CF=y．
（1）求證：直線EF是⊙O的切線；
（2）求y關于x的函數關系式（不要求寫自變量的取值范圍）．

Answer 1

（1）證明：連接OE
∵AB=AC
∴∠B=∠C
∵OB=OE
∴∠B=∠BEO
∴∠C=∠BEO
∴AC∥OE
∵EF⊥CA
∴EF⊥OE
點E在⊙O上
直線EF是⊙O的切線；

（2）過點A作AG⊥BC，垂足為G，
∴BG=

1

3

AB=2．
∵AB=AC，
∴BC=2BG=4．
∵OB=x，
∴BD=2x．
∵BD是⊙O的直徑，
∴∠DEB=90°．
∵cosB=

1

3

=

BE

BD

，
∵OB=x，
∴BD=2x，
∴BE=

2

3

x，
∴CE=BC-BE=4-

2

3

x．
∵△BDE∽△CEF，
∴

BD

CE

=

BE

CF

，
∴y=-

2

9

x+

4

3

．