Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y＝kx+b（k≠0）的圖象與反比例函數y＝（x＞0，m≠0）的圖象交于點C，與x軸、y軸分別交于點D、B，已知OB＝3，點C的橫坐標為4，cos∠0BD＝

（1）求一次函數及反比例函數的表達式；

（2）將一次函數圖象向下平移，使其經過原點O，與反比例函數圖象在第四象限內的交點為A，連接AC，求四邊形OACB的面積．

Answer 1

【答案】（1）y=-x+3，；（2）9.

【解析】

（1）根據三角函數可求出OD的長，把B、D兩點坐標代入一次函數y=kx+b可得到一次函數的解析式，把C點的橫坐標代入可求出C點坐標，代入反比例函數可得到反比例函數的解析式；（2）根據平移后解析式的k不變可得直線OA的解析式，利用反比例函數的解析式可求出A點坐標，即可求出OA的長，根據B、C的坐標可求出BC的長，過O作OE⊥BC，利用三角函數可求出OE的長，根據梯形面積公式求出四邊形OACB的面積即可.

（1）∵cos∠OBD=，OB=3，

∴∠OBD=45°，OD=OB=3，

∴，

解得：，

∴一次函數的解析式為：y=-x+3，

把C點橫坐標代入得：y=-4+3=-1，

∴C點坐標為（4，-1），

∵C點在反比例函數圖像上，

∴-1=，解得：m=-4，

∴反比例函數的解析式為：y=-.

（2）∵一次函數圖象向下平移,使其經過原點O，

∴平移后直線OA的解析式為：y=-x，

把y=-x代入反比例函數得：-x=-，

解得：x1=2，x2=-2，

∵A點在第四象限，

∴x=2，

把x=2代入y=-x得y=-2，

∴A點坐標為（2，-2）

∴OA=2，

過O作OE⊥BC于E，

∵OB=3，∠OBE=45°，

∴OE=3sin45°=，

∵B點坐標（0，3），C點坐標（4，-1）

∴BC==4，

∵OA//BC，

∴四邊形OACB是梯形，

∴SOACB=（2+4） =9.