Question

【題目】如圖，過四邊形的四個頂點分別作對角線、的平行線，所圍成的四邊形顯然是平行四邊形．

當四邊形是分別菱形、矩形時，相應的平行四邊形一定是“菱形、矩形、正方形”中的哪一種？請將你的結論填入下表：

四邊形	菱形	矩形
平行四邊形	________	________

當四邊形是矩形時，平行四邊形是什么特殊圖形，證明你的結論；

反之，當用上述方法所圍成的平行四邊形是矩形時，相應的原四邊形必須滿足怎樣的條件？（直接寫出結論）

Answer 1

【答案】（1）矩形，菱形；（2）當四邊形是矩形時，平行四邊形是菱形，理由詳見解析；（3）當平行四邊形是矩形時，原四邊形必須滿足的條件是對角線互相垂直．

【解析】

（1）原四邊形是菱形時，菱形的對角線互相垂直，因此平行四邊形應該是個矩形（平行四邊形相鄰的兩邊都垂直），
原四邊形是矩形時，它的對角線相等，那么平行四邊形應該是個菱形（平行四邊形相鄰的兩邊都相等）；
（2）根據平行公理的推論求出EF∥GH，EH∥FG，推出平行四邊形EFGH，證出鄰邊相等即可；
（3）根據（1）我們可看出要想使得出的平行四邊形是矩形，那么原四邊形的對角線就必須垂直，因為只有這樣平行四邊形的相鄰兩邊才垂直．

（1）四邊形ABCD是菱形時，平行四邊形EFGH是矩形，
四邊形ABCD是矩形時，平行四邊形EFGH是菱形，
故答案為：矩形，菱形；

如圖所示：

當四邊形是矩形時，平行四邊形是菱形；

理由：∵，．

∴四邊形，均為平行四邊形，

∵四邊形為矩形，

∴，

∴，

∴四邊形為菱形；

當平行四邊形是矩形時，原四邊形必須滿足的條件是對角線互相垂直．