Question

【題目】如圖，已知拋物線y=﹣x2+2x+3與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，連接BC．

（1）求A，B，C三點的坐標；

（2）若點P為線段BC上一點（不與B，C重合），PM∥y軸，且PM交拋物線于點M，交x軸于點N，當△BCM的面積最大時，求點P的坐標；

（3）在（2）的條件下，當△BCM的面積最大時，在拋物線的對稱軸上存在一點Q，使得△CNQ為直角三角形，求點Q的坐標．

Answer 1

【答案】（1）C（0，3），A（﹣1，0），B（3，0）；（2）當t=時，△BCM的面積最大，此時P點坐標為（ ， ）；（3）Q點的坐標為（1， ）或（1， ）或（1， ）或（1，﹣）.

【解析】試題分析：（1）在拋物線解析式中，令x=0可求得C點坐標，令y=0則可求得A、B的坐標；（2）由B、C的坐標可求得直線BC的解析式為y=﹣x+3，可設P點坐標為（t，﹣t+3），則可表示出M點坐標，則可求得PM的長，從而可用t表示出△BCM的面積，再利用二次函數的性質可求得當△BCM的面積最大時t的值，可求得P點坐標；

（3）由（2）可知N點坐標，設Q點坐標為（1，m），則可用m分別表示出QN、QC及CN，分點C為直角頂點、點Q為直角頂點和點N為直角頂點三種情況，分別根據勾股定理可得到關于m的方程，可求得m的值，可求得Q點坐標．

試題解析：解：（1）在y=﹣x2+2x+3中，令x=0可得y=3，，∴C（0，3），令y=0，可得﹣x2+2x+3=0，解得x=3或x=﹣1，∴A（﹣1，0），B（3，0）；

（2）設直線BC的解析式為y=kx+b，則有： ，解得： ，∴直線BC的解析式為y=﹣x+3．設P（t，﹣t+3），則M（t，﹣t2+2t+3），∴PM=（﹣t2+2t+3）﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t，∴S△BCM=PM（ON+BN）= PMOB= ×3（﹣t2+3t）=﹣（t﹣ ）2+ ，∵﹣ ＜0，∴當t= 時，△BCM的面積最大，此時P點坐標為（ ， ）

（3）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴拋物線的對稱軸為直線x=1，∴設Q（1，m），且C（0，3），N（，0），∴CN==，CQ= =，NQ= = ，∵△CNQ為直角三角形，∴分點C為直角頂點、點Q為直角頂點和點N為直角頂點三種情況：

①當點C為直角頂點時，則有CN2+CQ2=NQ2 ，即（）2+（m2﹣6m+10）= +m2 ，解得m=，此時Q點坐標為（1， ）；

②當點Q為直角頂點時，則有NQ2+CQ2=CN2 ，即（m2﹣6m+10）+ +m2=（ ）2 ，解得x= 或x= ，此時Q點坐標為（1， ）或（1， ）；

③當點N為直角頂點時，則有NQ2+CN2=CQ2 ，即（ ）2+ +m2=m2﹣6m+10，解得m=﹣ ，此時Q點坐標為（1，﹣）；

綜上可知Q點的坐標為（1， ）或（1， ）或（1， ）或（1，﹣）．