Question

【題目】已知OP平分∠AOB，∠DCE的頂點C在射線OP上，射線CD交射線OA于點F，射線CE交射線OB于點G．

（1）如圖1，若CD⊥OA，CE⊥OB，請直接寫出線段CF與CG的數量關系；

（2）如圖2，若∠AOB=120，∠DCE=∠AOC，試判斷線段CF與CG的數量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）CF=CG；（2）CF=CG，見解析

【解析】

(1)結論CF=CG，由角平分線性質定理即可判斷．
(2)結論：CF=CG，作CM⊥OA于M，CN⊥OB于N，證明△CMF≌△CNG，利用全等三角形的性質即可解決問題．

解：（1）結論：CF=CG；

證明：∵OP平分∠AOB，CF⊥OA，CG⊥OB，
∴CF=CG（角平分線上的點到角兩邊的距離相等）；

（2）CF=CG.理由如下：如圖，

過點C作CM⊥OA，CN⊥OB，

∵OP平分∠AOB，CM⊥OA，CN⊥OB，∠AOB=120，

∴CM=CN（角平分線上的點到角兩邊的距離相等），

∴∠AOC=∠BOC=60（角平分線的性質），

∵∠DCE=∠AOC，

∴∠AOC=∠BOC=∠DCE=60，

∴∠MCO=90-60 =30，∠NCO=90-60 =30，

∴∠MCN=30+30=60，

∴∠MCN=∠DCE，

∵∠MCF=∠MCN-∠DCN，∠NCG=∠DCE-∠DCN，

∴∠MCF=∠NCG，

在△MCF和△NCG中，

∴△MCF≌△NCG（ASA），

∴CF=CG（全等三角形對應邊相等）；