Question

【題目】如圖⊙O的內接△ABC中，外角∠ACF的角平分線與⊙O相交于D點，DP⊥AC，垂足為P，DH⊥BF，垂足為H.問：

(1)∠PDC與∠HDC是否相等，為什么？

(2)圖中有哪幾組相等的線段？

(3)當△ABC滿足什么條件時，△CPD∽△CBA，為什么？

Answer 1

【答案】（1）相等，理由詳見解析；（2）PC＝HC，DP＝DH，AP＝BH，AD＝BD；（3）∠ABC＝90°且∠ACB＝60°時，△CPD∽△CBA.

【解析】

（1）根據“AAS”證明△CDH≌△CDP即可；

（2）發現全等三角形，根據全等三角形的對應邊相等證明出線段相等；

（3）根據其中一個是直角三角形得到AC必須是直徑．再根據另一對角對應相等，結合利用平角發現∠PCD＝∠DCF＝∠ACB=60°才可．

解　(1)相等．理由如下：

∵CD為∠ACF的角平分線(已知)，

∴∠DCP＝∠DCH，

∵DP⊥AC，DH⊥BF.

∴∠DPC＝∠DHC＝90°,

又∵CD=CD，

∴△CDH≌△CDP，

∴∠PDC＝∠HDC.

(2) ∵△CDH≌△CDP，

∴PC＝HC，DP＝DH，

∵∠DAP=∠DBH，∠APD=∠BHD=90°，

∴△ADP≌△BDH，

∴AP＝BH，AD＝BD.

綜上可得：PC＝HC，DP＝DH，AP＝BH，AD＝BD.

(3)∠ABC＝90°且∠ACB＝60°時，△CPD∽△CBA.

∵∠CPD＝90°，

∴∠ABC＝90°.

∵CD為∠ACF的角平分線，∠PCD＝∠DCF＝∠ACB，

∴∠ACB＝60°.

∴∠ABC＝90°且∠ACB＝60°時，△CPD∽△CBA.