Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=10cm，長為4cm的線段DE在邊AC上，且點D與點A重合，點F是DE的中點，線段DE從點A出發，沿AC方向向點C勻速運動，直到點E與點C重合，速度1cm/s。過點F作PF⊥AC，交AB于點P，過點P作PQ//AC，交BC于點Q,連接PD,PE,QE,設線段DE的運動時間為t（s）.（0≤t≤6）

（1）請分別用含有t的代數式表示線段PF、BQ

（2）當t為何值時，四邊形PFCQ為正方形？

（3）設四邊形PDEQ的面積為y（cm）請求出y與t之間的函數關系式，并求出當t為何值時，四邊形PDEQ的面積最大，最大是多少？

（4）是否存在某一時刻t，使得EP平分∠AEQ？若存在，求出此時t的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）PF=t+2，BQ=8-t;（2）t=3s;（3）t=5,y=24.5;（4）存在.時，EP平分∠AEQ

【解析】

（1）根據∠C=90°，AC=BC=10cm，可得∠A= ，再根據PF⊥AC可得AF=PF，根據題意可得AF=t+2，CF=8-t，即可得出答案。

（2）當PF=PQ時，四邊形PFCQ為正方形，列出方程即可。

（3）用矩形DFCQ的面積加上三角形PDF的面積，再減去三角形QEC的面積得到四邊形PDEQ的面積，列出y與t的函數關系式即可。

（4）先假設得EP平分∠AEQ，則∠AEP=∠QEP, 再根據 PQ//AC，得出∠AEP=∠QPE, ∠QEP=∠QPE,得出QE=QP,列出方程，方程有解就存在，沒解就不存在。

（1）∵∠C=90°，AC=BC=10cm，∴∠A=∠B=, ∵PF⊥AC，∴∠AFP=90°, ∴AF=PF,同理可證，BQ=PQ，∵點F是DE的中點，DE=4，∴DF=EF=2, ∴AF=t+2，∴PF=t+2，則CF=AC-AF=8-t，∵PF⊥AC，∠C=90°，PQ//AC，則四邊形PFCQ是矩形，∴PQ=CF, BQ=CF = 8-t；

（2）∵四邊形PFCQ為正方形，∴PF= CF，∴t+2=8-t，∴t=3，∴t=3時四邊形PFCQ為正方形。

（3）y==(t+2)(8-t)+2(t+2)-(10-t-4)（t+2）

∴y=-+5t+12，∵a=-0，∴當t=5時，=24.5

∴當t=5時，四邊形PDEQ的面積最大，最大面積為24.5

（4）∵EP平分∠AEQ，∴∠AEP=∠QEP, ∵PQ//AC，∴∠AEP=∠QPE, ∴∠QEP=∠QPE, ∴QE=QP=8-t, ∴在RtECQ中， ∴

解得：t=，t=（舍去）

∴存在時，EP平分∠AEQ