Question

【題目】已知：如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AD平分∠BAC交BC于D．
（1）用尺規畫圓O，使圓O過A、D兩點，且圓心O在邊AC上．（保留作圖痕跡，不寫作法）
（2）求證：BC與圓O相切；
（3）設圓O交AB于點E，若AE=2，CD=2BD．求線段BE的長和弧DE的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：⊙O即為所求：

（2）解：連接OD，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠OAD，

∴∠BAD=∠ODA，

∴OD∥AB，

∴∠ODC=∠ABC=90°，

∵OD是半徑，

∴BC與⊙O相切；

（3）連接OE，過點O作OF⊥AB于點F，

∵AE=2，

∴由垂徑定理定理可知：AF=1，

∵CD=2BD，

∴ = ， = ，

∵OF∥BC，

∴△AOF∽△ACB，

∴ ，

∵OF=BD，

∴ = ，

∴ = ，

∴AB=3，

∴BE=AB﹣AE=1，

∵OD∥AB，

∴△OCD∽△ACB，

∴ = ，

∴OD=2，

∴OA=OD=AE，

∴△AOE是等邊三角形，

∴∠AEO=60°

∵OD∥AB，

∴∠EOD=60°，

∴ 的長度是： = ．

【解析】（1）要使⊙O過A、D兩點，即OA=OD，所以點O在線段AD的垂直平分線上，且圓心O在AC邊上，所以作出AD的垂直平分線與AC的交點即為點O；（2）要證明BC與⊙O相切，連接OD后，只需要證明∠ODC=90°即可；（3）由于AE是⊙O的弦，可過點O作OF⊥AE于點F，然后利用垂徑定理可知AF=1，利用△AOF∽△ACB求出AB的值，所以BE=AB﹣AE．再利用△OCD∽△ACB，求出半徑OD，可知△AOE是等邊三角形，所以 所對的圓心角為60°，利用弧長公式即可求出 的長度．