Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AC是四邊形的對角線，∠CAD=30°，過點C作CE⊥AB于點E，∠B=2∠BAC，∠ADC﹣∠BAC=90°，若AB=20，CD=16，則BE的長為____．

Answer 1

【答案】2．

【解析】

在EA上截取EF＝EB，連接CF，作FM⊥AC于M，作CN⊥AD于N，由線段垂直平分線的性質得出CB＝CF，由等腰三角形的性質得出∠CFB＝∠B＝2∠BAC，證出∠FCA＝∠BAC，得出AF＝CF，由等腰三角形的性質得出CM＝AM＝AC，由直角三角形的性質得出CN＝AC，得出AM＝CN，證出∠BAC＝∠DCN，證明△AFM≌△CDN（ASA），得出AF＝CD＝16，進而得出答案．

在EA上截取EF=EB，連接CF，作FM⊥AC于M，作CN⊥AD于N，如圖所示：

∵CE⊥AB，

∴CB=CF，

∴∠CFB=∠B=2∠BAC．

∵∠CFB=∠FCA+∠BAC，

∴∠FCA=∠BAC，

∴AF=CF．

∵FM⊥AC，

∴CM=AM=AC．

∵CN⊥AD，∠CAD=30，

∴CN=AC，

∴AM=CN．

∵∠ADC﹣∠BAC=90，

∴∠ADC=90+∠BAC．

∵∠ADC=∠N+∠DCN=90+∠DCN，

∴∠BAC=∠DCN，

在△AFM和△CDN中，，

∴△AFM≌△CDN（ASA），

∴AF=CD=16，

∴BF=AB﹣AF=20﹣16=4，

∴BE=BF=2．

故答案為：2．