Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，CD是弦，AB⊥CD于點E，OF⊥AC于點F，BE＝OF．

（1）求證：△AFO≌△CEB；

（2）若BE＝4，CD＝8，求：

①⊙O的半徑；

②求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①8；②

【解析】

（1）根據垂徑定理知BC＝BD，再利用圓周角定理知∠A＝∠DCB，而∠AFO＝∠CEB，故可證明△AFO≌△CEB；（2）①利用垂徑定理得出CE=4，設 OC＝r，則 OE＝r﹣4，根據勾股定理可得r2＝（r﹣4）2+（4）2，即可求出r；②根據陰影部分等于扇形OABD的面積減去△CDO的面積即可求出.

（1）證明：∵AB 為⊙O 的直徑，AB⊥CD，

∴BC＝BD，

∴∠A＝∠DCB，

∴OF⊥AC，

∴∠AFO＝∠CEB，

∵BE＝OF，

∴△AFO≌△CEB（AAS）．

（2）①∵AB 為⊙O 的直徑，AB⊥CD，

∴CE＝CD＝4

設 OC＝r，則 OE＝r﹣4，

∴r2＝（r﹣4）2+（4）2

∴r＝8．

②連結 OD．

∵OE＝4＝OC，

∴∠OCE＝30°，∠COB＝60°，

∴∠COD＝120°，

∵△AFO≌△CEB，

∴S△AFO＝S△BCE，

∴S陰＝S扇形OCD﹣S△OCD

＝﹣

＝﹣16.