Question

某種植基地對去年瓜果生產基地的甲、乙兩種瓜果的生產銷售進行了統計，發現去年1至12月每千克甲種瓜果的銷售價格y₁（元）與月份x（1≤x≤12，x為整數）之間存在如圖所示變化趨勢，每千克乙種瓜果銷售價格y₂（元）與月份x（1≤x≤12，x為整數）之間的函數關系如下表：

月份x	1	2	3	4	…
銷售價格y2（元）	7.75	7.5	7.25	7	…

（1）請觀察題中的表格，用所學過的一次函數、反比例函數或二次函數的有關知識，直接寫出y₂與x之間的函數關系式，根據如圖所示的變化趨勢，求出y₁與x之間滿足的一次函數關系式；
（2）若去年每千克甲種瓜果生產成本為2.5元，每千克乙種瓜果生產成本為2元，且去年1至12月甲種瓜果銷售量p₁（萬千克）與月份x滿足關系式p₁=0.2x+1（1≤x≤12，x為整數），去年1至12月乙種瓜果銷售量p₂（萬千克）與月份x滿足關系式p₂=0.4x+0.8（1≤x≤12，x為整數），求去年上半年哪一個月同時出售甲、乙兩種瓜果的總利潤最大？并求出其最大利潤；
（3）預計今年1至5月，受物價上漲因素的影響，該基地甲種瓜果生產成本每千克比去年增加20%，乙種瓜果的生產成本每千克比去年增加1元，而甲種瓜果每千克售價在去年12月份的基礎上提高m%，乙種瓜果每千克售價在去年12月份的基礎上提高1.2m%，與此同時，每月甲種瓜果的銷售量均在去年12月份的基礎上減少3m%，每月乙種瓜果的銷售量均在去年12月份的基礎上減少了2m%，這樣，預計今年1至5月銷售乙種瓜果獲得的總利潤比1至5月銷售甲種瓜果獲得的總利潤多40萬元，請參考以下數據，估算m的整數值（m≤10）．
（參考數據：32²=1024，33²=1089，34²=1156，35²=1225）

Answer 1

（1）設y₁與x之間的函數關系式為y₁=k₁x+b₁和y₂與x之間的函數關系式為y₂=k₂x+b₂，根據條件得：

7=6k1+b1 4=12k1+b1

，

7.75=k2+b2 7.5=2k2+b2

，
解得：

k1=- 1 2 b1=10

，

k2=- 1 4 b2=8

，
∴y₁=-

1

2

x+10，y₂=-

1

4

x+8；
（2）由題意，得
W=（y₁-2.5）p₁+（y₂-2）p₂，
=（-

1

2

x+10-2.5）（0.2x+1）+（-

1

4

x+8-2）（0.4x+0.8），
=-

1

5

x²+

16

5

x+

123

10

，
=-

1

5

（x-8）²+

251

10

，
∵a=-

1

5

＜0，
∴拋物線的開口向下，函數由最大值，在拋物線的左側W隨x的增大而增大，
∵拋物線的對稱軸為x=8，
∴當x=8時，W最大值=

251

10

．
∵1≤x≤6，
∴x=6時，W=

243

10

萬元，
∴在上半年的6月份同時出售甲、乙兩種瓜果的總利潤最大，最大值為

243

10

萬元；
（3）由題意得：
甲種瓜果今年1月份的成本為：2.5（1+20%）=3元，
售價為：4（1+m%）元，
銷量為：（0.2×12+1）（1-3m%），
乙種瓜果1月份的成本為：2+1=3元，
售價為：（-

1

4

×12+8）（1+1.2m%）=5（1+1.2m%），
銷量為：（0.4×12+0.8）（1-2m%）=5.6（1-2m%），
∴5[5（1+1.2m%）-3][5.6（1-2m%）]-5[4（1+m%）-3][3.4（1-3m%）]=40，
設m%=a，則有
5[5（1+1.2a）-3][5.6（1-2a）]-5[4（1+a）-3][3.4（1-3a）]=40，
整理，得
132a2-39a+1=0，
∴a=

39± 392-4×132×1

264

，
=

39± 993

264

．
∵32²=1024，
∴a=

39±32

264

，
∴a₁≈0.2689，a₂≈0.0265，
∴m%=0.2689或m%=0.0265，
∴m₁=26.89，m₂=2.65．
∵m是整數（m≤10）．
∴m=3．
答：m的整數值為3．