Question

如圖：在平面直角坐標(biāo)系中，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在兩坐標(biāo)軸上，與兩坐標(biāo)軸交點(diǎn)為點(diǎn)A和點(diǎn)C，與拋物線y=ax²+ax+b交于點(diǎn)B，其中點(diǎn)A（0，2），點(diǎn)B（-3，1），拋物線與y軸交點(diǎn)D（0，-2）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）在拋物線上是否還存在點(diǎn)P（點(diǎn)B除外），使△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）將B、D兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求出待定系數(shù)a、b的值，也就求得了拋物線的解析式；
（2）過(guò)B作BE⊥x軸于E，利用三角形全等解答即可；
（3）延長(zhǎng)BC到P，使CP=BC，連接AP，利用等腰直角三角形的性質(zhì)與全等三角形的判定與性質(zhì)解答即可．

解答：解：（1）將（-3，1），（0，-2）代入得：

1=9a-3a+b -2=b

解得

a= 1 2 b=-2

，
∴拋物線的解析式為：y=

1

2

x2+

1

2

x-2；

（2）過(guò)B作BE⊥x軸于E，則E（-3，0），
易證△BEC≌△COA，
∴BE=AO=2，EB=CO=1，
∴C（-1，0）；

（3）延長(zhǎng)BC到P，使CP=BC，連接AP，
則△ACP為以AC為直角邊的等腰直角三角形
過(guò)P作PF⊥x軸于F，易證△BEC≌△PFC，
∴CF=CE=2PF=BE=1，
∴P（1，-1），
將（1，-1）代入拋物線的解析式滿足；
若∠CAP=90°，AC=AP，
則四邊形ABCP為平行四邊形，
過(guò)P作PG⊥x軸于G，易證△PGA≌△CEB，
∴PG=2AG=1，
∴P（2，1）在拋物線上，
∴存在P（1，-1），（2，1）滿足條件．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和判定、全等三角形的判定和性質(zhì)、二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點(diǎn)等知識(shí)．