Question

【題目】如圖，等邊△ABC中，AM為邊BC上的中線(xiàn)，動(dòng)點(diǎn)D在直線(xiàn)AM上，以CD為一邊在CD的下方作等邊△CDE，設(shè)直線(xiàn)BE與直線(xiàn)AM的交點(diǎn)為O．

（1）如圖1，點(diǎn)D在線(xiàn)段AM上時(shí)，填空：

①線(xiàn)段AD與BE的數(shù)量關(guān)系是　 　②∠AOB的度數(shù)是　 　．

（2）如圖2，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D在線(xiàn)段MA的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，試判斷（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明：若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出新的結(jié)論，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）①AD＝BE；②60°；（2）成立，理由見(jiàn)解析

【解析】

（1）①證明△ACD≌△BCE即可．

②先證明∠CAM=30°，由△ACD≌△BCE得∠OBM=∠CAM=30°，由此即可解決問(wèn)題．

（2）結(jié)論不變．證明方法類(lèi)似（1）．

（1）∵△ABC和△DCE都是等邊三角形，

∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，

∴∠ACD＝∠BCE，

在△ACD和△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD＝BE；

故答案為：AD＝BE；

②∵BM＝CM，AB＝AC，∠BAC＝60°，

∴AM⊥BC，∠BAM＝∠CAM＝30°，

∴∠AMC＝∠MBO＝90°，

∵△ACD≌△BCE，

∴∠OBM＝∠CAM＝30°，

∵∠OBM+∠BOM＝90°

∴∠AOB＝60°；

故答案為：60°；

（2）（1）中的結(jié)論成立，理由如下：

∵△ABC和△DCE都是等邊三角形，

∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，

∴∠ACD＝∠BCE，

∵BM＝CM，AB＝AC，∠BAC＝60°，

∴AM⊥BC，∠BAM＝∠CAM＝30°，

∴∠AMC＝∠MBO＝90°，

在△ACD和△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD＝BE，∠DAC＝∠EBC，

∴∠OBM＝∠CAM＝30°，

∴∠AOB＝90°﹣∠OBM＝60°．