Question

【題目】如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC≤BC，將△ABC沿EF折疊，使點A落在直角邊BC上的D點處，設EF與AB、AC邊分別交于點E、點F，如果折疊后△CDF與△BDE均為等腰三角形，那么∠B＝_____．

Answer 1

【答案】45°或30°

【解析】

先確定△CDF是等腰三角形，得出∠CFD=∠CDF=45°，因為不確定△BDE是以那兩條邊為腰的等腰三角形，故需討論，①DE=DB，②BD=BE，③DE=BE，然后分別利用角的關系得出答案即可．

∵△CDF中，∠C＝90°，且△CDF是等腰三角形，

∴CF＝CD，

∴∠CFD＝∠CDF＝45°，

設∠DAE＝x°，由對稱性可知，AF＝FD，AE＝DE，

∴∠FDA＝∠CFD＝22.5°，∠DEB＝2x°，

分類如下：

①當DE＝DB時，∠B＝∠DEB＝2x°，

由∠CDE＝∠DEB+∠B，得45°+22.5°+x＝4x，

解得：x＝22.5°．

此時∠B＝2x＝45°；

見圖形（1），說明：圖中AD應平分∠CAB．

②當BD＝BE時，則∠B＝（180°﹣4x）°，

由∠CDE＝∠DEB+∠B得：45°+22.5°+x＝2x+180°﹣4x，

解得x＝37.5°，

此時∠B＝（180﹣4x）°＝30°．

圖形（2）說明：∠CAB＝60°，∠CAD＝22.5°．

③DE＝BE時，則∠B＝（180﹣2x）°，

由∠CDE＝∠DEB+∠B得，45°+22.5°+x＝2x+（180﹣2x）°，

此方程無解．

∴DE＝BE不成立．

綜上所述，∠B＝45°或30°．

故答案為：45°或30°．