Question

【題目】已知：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝AC，點D在直線AB上，連接CD，在CD的右側作CE⊥CD，CD＝CE，

（1）如圖1，①點D在AB邊上，直接寫出線段BE和線段AD的關系；

（2）如圖2，點D在B右側，BD＝1，BE＝5，求CE的長．

（3）拓展延伸

如圖3，∠DCE＝∠DBE＝90，CD＝CE，BC＝，BE＝1，請直接寫出線段EC的長．

Answer 1

【答案】（1）AD⊥BE；（2）CE＝；（3）CE＝．

【解析】

（1）根據全等三角形的性質得到AD＝BE，∠A＝∠CBE，求得∠ABE＝90°，于是得到結論；

（2）如圖2，連接BE，根據全等三角形的性質得到∠A＝∠CBE，推出∠DBE＝90°，根據勾股定理得到DE＝＝＝，即可得到結論；

（3）如圖3，過C作CA⊥BC交DB于A，根據已知條件得到D，E，B，C四點共圓，求得∠CDA＝∠CEB，根據全等三角形的性質得到AD＝BE＝1，AC＝BC，得到△ACB是等腰直角三角形，于是得到結論．

解：（1）∵∠ACB＝∠DCE＝90°，

∴∠ACD＝∠BCE，

∵AC＝BC，CD＝CE，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD＝BE，∠A＝∠CBE，

∵∠A+∠ABC＝90°，

∴∠ABE＝90°，

∴AD⊥BE；

（2）如圖2，連接BE，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，

∴∠ACD＝∠BCE，

∵AC＝BC，CD＝CE，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴∠A＝∠CBE，

∵∠A+∠ABC＝90°，

∴∠ABE＝90°，

∴∠DBE＝90°，

∵BD＝1，BE＝5，

∴DE＝＝＝，

∵CD＝CE，∠DCE＝90°，

∴CE＝DE＝；

（3）如圖3，過C作CA⊥BC交DB于A，

∵∠DCE＝90°，

∴∠DCA＝∠ECB，

∵∠DCE＝∠DBE＝90°，

∴D，E，B，C四點共圓，

∴∠CDA＝∠CEB，

∵CD＝CE，

∴△CDA≌△CEB（ASA），

∴AD＝BE＝1，AC＝BC，

∴△ACB是等腰直角三角形，

∴AB＝BC＝2，

∴BD＝3，

∴DE＝＝＝，

∴CE＝DE＝．