Question

【題目】如下圖，在平面直角坐標系中，直線AB與x軸交于點A,與y軸交于點B，與直線OC:y=x交于點C.

(1)若直線AB解析式為.

①求點C的坐標；

②根據圖象，求關于x的不等式0<-x+10<x的解集；

(2)如下圖，作∠AOC的平分線ON,若AB⊥ON,垂足為E,ΔOAC的面積為9，且OA=6，P、Q分別為線段OA、OE上的動點，連接AQ與PQ,試探索AQ+PQ是否存在最小值?若存在，求出這個最小值:若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】(1)①C(4，4) ，②4<x<；(2) AQ+PQ存在最小值，最小值為3.

【解析】

（1）①根據直線AB和直線OC相交于點C，將兩個函數解析式聯立，解方程組即為C(4，4)；②先求出A點坐標，觀察圖像即可得出不等式的解集為4<x<；

（2）首先在OC上截取OM=OP,連接MQ，通過SAS定理判定△POQ≌△MOQ，從而得出PQ=MQ,進行等式變換AQ+PQ=AQ+MQ,，即可判斷當A、Q、M在同一直線上，且AM⊥0C時，AQ+MQ最小，即AQ+PQ存在最小值；再由ASA定理判定△AEO≌ΔCEO，最后由OC=OA=6，ΔOAC的面積為9，得出AM=3.

(1)①由題意，

解得：

所以C(4，4)

②把y=0代入,

解得

所以A點坐標為(，0)，

∵C（4,4），

所以觀察圖像可得：不等式的解集為4<x<；

(2)由題意，在OC上截取OM=OP,連接MQ，

∵ON平分∠AOC,

∴∠AOQ=∠COQ，

又OQ=OQ.

∴△POQ≌△MOQ(SAS)，

∴PQ=MQ,

∴AQ+PQ=AQ+MQ,

當A、Q、M在同一直線上，且AM⊥OC時，AQ+MQ最小，

即AQ+PQ存在最小值

∴AB⊥ON,所以∠AEO=∠CEO,

∴△AEO≌ΔCEO(ASA)，

∴OC=OA=6,

∵ΔOAC的面積為9，

∴OC·AM=9,

∴AM=3,

:AQ+PQ存在最小值，最小值為3.