Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c過原點O、點A （2，﹣4）、點B （3，﹣3），與x軸交于點C，直線AB交x軸于點D，交y軸于點E．
（1）求拋物線的函數表達式和頂點坐標；
（2）直線AF⊥x軸，垂足為點F，AF上取一點G，使△GBA∽△AOD，求此時點G的坐標；
（3）過直線AF左側的拋物線上點M作直線AB的垂線，垂足為點N，若∠BMN=∠OAF，求直線BM的函數表達式．

Answer 1

【答案】解：（1）∵將原點O、點B、點C的坐標代入得：，解得：a=1，b=﹣4，c=0，
∴拋物線的解析式為y=x2﹣4x．
（2）設直線AB的解析式為y=kx+b．
∵將點A（2，﹣4）、B（3，﹣3）代入得，解得：k=1，b=﹣6，
∴直線AB的解析式為y=x﹣6．
∵令y=0得x﹣6=0，解得：x=6，
∴D（6，0）．
∴OD=6．
∵AF⊥x軸，（2，﹣4），
∴F（2，0）．
∴AF=4，DF=4．
∴AF=DF．
∴∠GAB=∠ODA．
∴當時，△GBA∽△AOD．
∵由兩點間的距離公式可知AB==，AD==4，
∴，解得；AG=．
∴G（2，﹣）．
（3）如圖1所示：BM與AF的交點記為G．

∵∠BMN=∠OAF，∠A=∠ODA，
∴△GBA∽△AOD．
∴，即，解得；AG=．
∴G（2，﹣）．
設直線BM的解析式為y=kx+b．
∵將點B、G的坐標代入得：，解得：k=﹣，b=﹣2．
∴直線BM的解析式為y=﹣X﹣2．
如圖2所示：MB與x交點記為G．

BD=AD﹣AB=4﹣=3．
∵∠BMN=∠OAF，∠GDB=∠ODA，
∴△FBD∽△AOD．
∴，即，解得DG=4．
∴點G的坐標為（2，0）．
設直線BM的解析式為y=kx+b．
∵將點B和點G的坐標代入得：，解得k=﹣3，b=6．
∴直線BM的解析式為y=﹣3x+6．
綜上所述，直線MB的解析式為y=-x﹣2或y=﹣3x+6．
【解析】（1）將原點O、點B、點C的坐標代入求得a、b、c的值即可；
（2）先求得直線AB的解析式，然后可求得點D的坐標，于是得到AF=DF，由兩點間的距離公式可求得AB、AD的長，由等腰三角形的性質可證明∠GAB=∠ODA，故此時，△GBA∽△AOD．接下來依據關系式可求得AG的長，從而可求得點G的坐標；
（3）如圖1所示：BM與AF的交點記為G．先證明△GBA∽△AOD，由相似三角形的性質可求得AG的長，于是得到點G的坐標，然后依據待定系數法可求得BM的解析式；如圖2所示：MB與x交點記為G．先證明△FBD∽△AOD，由相似三角形的性質可求得DG的長，從而得到點G的坐標，然后依據待定系數法可求得MB的解析式