Question

【題目】如圖，直線y=x+6與y軸交于點A，與x軸交于點B，點M是射線AB上一動點（點M不與點A、B重合），以點M為圓心，MA長為半徑的圓交y軸于另一點C，直線MC與x軸交于點D，點E是線段BD的中點，射線ME交⊙M于點F，連接OF．
（1）若MA=2，求C點的坐標；
（2）若D點的坐標為（4，0），求MC的長；
（3）當OF=MA時，直接寫出點M的坐標．

Answer 1

【答案】解：（1）如圖1所示：過點M作MG⊥AC，垂足為G．

∵將x=0代入y=x+6得y=6，
∴A（0，6）．
∴OA=6．
∵將y=0代入y=x+6得x+6=0，解得：x=﹣8，
∴B（﹣8，0）
∴OB=8．
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB==10．
∵∠KGA=∠BOA=90°，∠MAG=∠BAO，
∴△ABO∽△AMG．
∴，即，解得：AG=1.2．
∵MG⊥AC，AM=MC，
∴AG=CG=1.2．
∴AC=2.4．
∴OC=OA﹣AC=6﹣2.4=3.6．
∴C（0，3.6）．
（2）如圖2所示：過點M作MG⊥AC，垂足為G．

∵∠OCD=∠MCA，∠MCA=∠MAC，
∴∠OCD=∠BAO．
又∵∠BOA=∠DOC，
∴△DOC∽△BOA．
∴=，即，解得OC=3．
∵由（1）可知AG=AC，
∴AG=X(OA-OC)=．
∵由（1）可知△ABO∽△AMG，
∴，即，解得：AM=．
∵MC=AM，
∴MC=．
（3）①如圖3所示：過點M作MG⊥AC，垂足為G，過點F作FH⊥AC，垂足為H．

∵由（2）可知△DOC∽△BOA，
∴∠MBD=∠MDB．
∴MB=MD．
又∵E是BD的中點，
∴ME⊥BD．
∴四邊形FMGH為矩形．
在Rt△MAG和Rt△FOH中，
，
∴Rt△MAG≌Rt△FOH．
∴AG=OH=AM．
∵AG+GH+OH=6，
∴AM+AM+AM=6．
解得：AM=．
∴AG=X=，OH=AM+AM=X+=．
∴點M的坐標為（﹣，）．
②如圖4所示：過點M作MG⊥AC，垂足為G，過點F作FH⊥AC，垂足為H．

由①可知四邊形MGHF為矩形．
在Rt△MAG和Rt△FOH中，
，
∴Rt△MAG≌Rt△FOH．
∴∠MAG=∠FOH．
∴MA∥OF．
又∵MF∥AC，
∴四邊形AOFM是平行四邊形．
∴MF=AC=6．
∴AM=6．
∴GM=6X=，AG=6×=．
∴OG=OA﹣AG=6﹣=．
∴點M的坐標為（﹣，）．
【解析】（1）過點M作MG⊥AC，垂足為G．先求得點A和點B的坐標，然后求得AB的長，接下來證明△ABO∽△AMG，依據相似三角形的性質可求得AG=1.2，依據等腰三角形三線合一的性質可求得AC的長，從而得到點C的坐標
（2）過點M作MG⊥AC，垂足為G．先證明△DOC∽△BOA，從而可求得OC=3，然后由△ABO∽△AMG可求得AM的長，從而得到MC的長；
（3）①過點M作MG⊥AC，垂足為G，過點F作FH⊥AC，垂足為H．先證明△MBD為等腰三角形，依據等腰三角形三線合一的性質可證明MF⊥BD，從而得到四邊形FMGH為矩形，然后再證明Rt△MAG≌Rt△FOH，從而得到AG=OH=AM，可求得AM的長，由AM的長可求得AG、MG的長，故此可求得點M的坐標；②過點M作MG⊥AC，垂足為G，過點F作FH⊥AC，垂足為H．先證明Rt△MAG≌Rt△FOH，于是得到∠MAG=∠FOH，接下來可證明四邊形AOFM是平行四邊形，故此可求得AM=6，從而可求得點M的坐標．