Question

【題目】如圖，已知AB是圓O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為H，在CD上有點N滿足CN=CA，AN交圓O于點F，過點F的AC的平行線交CD的延長線于點M，交AB的延長線于點E．

（1）求證：EM是圓O的切線；

（2）若AC：CD=5：8，AN=3，求圓O的直徑長度．

（3）在（2）的條件下，直接寫出FN的長度．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）25；（3）

【解析】

（1）連接FO，根據等邊對等角可得∠CAN=∠CNA，利用兩直線平行內錯角相等，可得 ∠CAN=∠MFN ，從而可得∠MFN=∠FNM=∠CAN，利用直角定義可得∠MFO=90°，即證直線ME與圓O相切.

（2）根據垂徑定理可得CH=DH=4a ， AH=3a.利用勾股定理可得AN的值，從而求出a=3，即得 AH、CH的值 .

設圓的半徑為r，則OH=r﹣9，在Rt△OCH中，利用勾股定理可得 ， 解出r值，即得直徑.

（3）連接BF，可證△ANH∽△ABF，可得 ， 代入數據可求出AF= ， 由FN=AF-AN，即得AN的長度.

（1）證明：連接FO，

∵AN=AC，

∴∠CAN=∠CNA

∵AC∥ME，

∴∠CAN=∠MFN

∵∠CNA=∠FNM

∴∠MFN=∠FNM=∠CAN

又∵CD⊥AB，

∴∠HAN+∠HNA=90°，

∵AO=FO，

∴∠OAF=∠OFA

∴∠OFA+∠MFN=90°，即∠MFO=90°，

∴直線ME與圓O相切

（2）解：連接OC，

∵AC：CD=5：8，設AC=5 a，則CD=8 a，

∵CD⊥AB，

∴CH=DH=4 a，AH=3 a，

∵CA=CN，

∴NH= a，

∴AN= ，

∴ a=3，AH=3, a=9，CH=4 ,a=12．

設圓的半徑為r，則OH=r﹣9，

在Rt△OCH中，OC=r，CH=12，OH=r﹣9，

由OC2=CH2+OH2得 ，

解得：r= ，

∴圓O的直徑的長度為2r=25

（3）連接BF，根據（2）

可得△ANH∽△ABF

∴可得

解得AF=

∵FN=AF-AN=-3 =

∴FN=