Question

【題目】（1）如圖1，E是正方形ABCD邊AB上的一點，連接BD、DE，將∠BDE繞點D逆時針旋轉90°，旋轉后角的兩邊分別與射線BC交于點F和點G．

①線段DB和DG的數量關系是　 　；

②寫出線段BE，BF和DB之間的數量關系．

（2）當四邊形ABCD為菱形，∠ADC＝60°，點E是菱形ABCD邊AB所在直線上的一點，連接BD、DE，將∠BDE繞點D逆時針旋轉120°，旋轉后角的兩邊分別與射線BC交于點F和點G．

①如圖2，點E在線段AB上時，請探究線段BE、BF和BD之間的數量關系，寫出結論并給出證明；

②如圖3，點E在線段AB的延長線上時，DE交射線BC于點M，若BE＝1，AB＝2，直接寫出線段GM的長度．

Answer 1

【答案】（1）①DB＝DG；②BF+BE＝BD；（2）①BF+BE＝BD，見解析；②

【解析】

（1）①根據旋轉的性質解答即可；

②根據正方形的性質和全等三角形的判定和性質解答即可；

（2）①根據菱形的性質和全等三角形的判定和性質解答即可；

②作輔助線，計算BD和BF的長，根據平行線分線段成比例定理可得BM的長，根據線段的差可得結論．

解：（1）①DB＝DG，理由是：

∵∠DBE繞點B逆時針旋轉90°，如圖1，

由旋轉可知，∠BDE＝∠FDG，∠BDG＝90°，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠CBD＝45°，

∴∠G＝45°，

∴∠G＝∠CBD＝45°，

∴DB＝DG；

故答案為：DB＝DG；

②BF+BE＝BD，理由如下：

由①知：∠FDG＝∠EDB，∠G＝∠DBE＝45°，BD＝DG，

∴△FDG≌△EDB（ASA），

∴BE＝FG，

∴BF+FG＝BF+BE＝BC+CG，

Rt△DCG中，∵∠G＝∠CDG＝45°，

∴CD＝CG＝CB，

∵DG＝BD＝BC，

即BF+BE＝2BC＝BD；

（2）①如圖2，BF+BE＝BD，

理由如下：在菱形ABCD中，∠ADB＝∠CDB＝∠ADC＝×60°＝30°，

由旋轉120°得∠EDF＝∠BDG＝120°，∠EDB＝∠FDG，

在△DBG中，∠G＝180°﹣120°﹣30°＝30°，

∴∠DBG＝∠G＝30°，

∴DB＝DG，

∴△EDB≌△FDG（ASA），

∴BE＝FG，

∴BF+BE＝BF+FG＝BG，

過點D作DM⊥BG于點M，如圖2，

∵BD＝DG，

∴BG＝2BM，

在Rt△BMD中，∠DBM＝30°，

∴BD＝2DM．

設DM＝a，則BD＝2a，

BM＝a，

∴BG＝2a，

∴.

∴BG＝BD，

∴BF+BE＝BG＝BD；

②過點A作AN⊥BD于N，過D作DP⊥BG于P，如圖3，

Rt△ABN中，∠ABN＝30°，AB＝2，

∴AN＝1，BN＝，

∴BD＝2BN＝2，

∵DC∥BE，

∴

∵CM+BM＝2，

∴BM＝，

Rt△BDP中，∠DBP＝30°，BD＝2，

∴BP＝3，

由旋轉得：BD＝BF，

∴BF＝2BP＝6，

∴GM＝BG﹣BM＝6+1﹣＝．