Question

【題目】一副直角三角板由一塊含30°的直角三角板與一塊等腰直角三角板組成，且含30°角的三角板的較長直角邊與另一三角板的斜邊相等（如圖1）

（1）如圖1，這副三角板中，已知AB＝2，AC＝　 　，A′D＝　 　

（2）這副三角板如圖1放置，將△A′DC′固定不動，將△ABC通過旋轉或者平移變換可使△ABC的斜邊BC經過△A′DC′′的直角頂點D．

方法一：如圖2，將△ABC繞點C按順時針方向旋轉角度α（0°＜α＜180°）

方法二：如圖3，將△ABC沿射線A′C′方向平移m個單位長度

方法三：如圖4，將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉角度β（0°＜β＜180°）

請你解決下列問題：

①根據方法一，直接寫出α的值為：　 　；

②根據方法二，計算m的值；

③根據方法三，求β的值．

（3）若將△ABC從圖1位置開始沿射線A′C′平移，設AA′＝x，兩三角形重疊部分的面積為y，請直接寫出y與x之間的函數關系式和相應的自變量x的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①15°；②；③30°；（3）

【解析】

（1）根據直角三角形中30°的直角邊所對的直角邊等于斜邊的一半，即可求得BC的長，然后根據勾股定理即可求得AC的長；

（2）①根據三角板的度數即可求解；

②作DH⊥A′C于H，易證△CDH∽△CBA，根據相似三角形的對應邊的比相等，即可求得CH的長，進而求得CC′；

③作DH⊥A′C′于H，AG⊥BC于G，可以證得Rt△AGD≌Rt△DHA，則BC∥AC′，利用平行線的性質即可求解；

（3）分0＜x≤，＜x≤，＜x≤2，x＞2四種情況即可求解．

（1）∵直角△ABC中，∠BAC＝30°，

∴BC＝2AB＝4，

∴AC＝＝2，

在等腰直角直角△A′DC′中，A′C′＝2，

∴A′D＝A′C′＝；

（2）①α＝45°﹣30°＝15°；

②作DH⊥A′C于H，則DH＝A′C′＝C′H＝，

∵DH∥AB，

∴△CDH∽△CBA．

∴，即，

∴CH＝3．

∴CC′＝CH﹣C′H＝3﹣，即m＝CC′＝3﹣；

③作DH⊥A′C′于H，AG⊥BC于G，

由已知：DH＝，

AG×BC＝AB×AC，

∴AG＝＝，

∴AG＝DH．

在Rt△AGD和Rt△DHA中：，

∴Rt△AGD≌Rt△DHA，

∴∠GDA＝∠DAH＝45°，

∴BC∥AC′，

∴β＝∠BCA＝30°；

（3）y＝．