Question

【題目】如圖，已知拋物線y＝ax2+bx經過點A(4，0)，點B是其頂點，∠AOB＝45°，OC⊥OB交此拋物線于點C，動直線y＝kx與拋物線交于點D，分別過點B、C作BE、CF垂直動直線y＝kx于點E、F．

(1)求此拋物線的解析式；

(2)當直線y＝kx把∠AOC分成的兩個角的度數之比恰好為1：2時，求k的值；

(3)BE+CF是否存在最大值？若存在，請直接寫出此最大值和此時k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)y＝；(2)k=或k=2-；(3)存在，BE+CF＝4，此時k=-2.

【解析】

(1)過點B作BH⊥x軸于點H，求出點B的坐標，用待定系數法可求出解析式；

(2)先求出點C的坐標，分兩種情況：∴①當∠AOD＝30°時，過點D作DP⊥x軸于點P，可求出k的值；②當∠COD＝30°時，如圖，設CQ與OF的交點為K，過點D作DP⊥x軸于點P，過點K作KN⊥OC于N，證明△ADP∽△AKQ，求出CN、CK、KQ的長，則k的值可求出；

(3)連接BC，由垂線段最短可知BE+CF≤BC，當且僅當直線y＝kx與BC垂直，即點E、F重合時，BE+CF＝BC，此時BE+CF取得最大值，可求出最大值和k的值．

解：(1)∵A(4，0)，

∴OA＝4，

過點B作BH⊥x軸于點H，如圖1，

∴∠OHB＝90°，OH＝AH＝2，

∵∠AOB＝45°，

∴∠OBH＝∠AOB＝45°，

∴OH＝BH＝2，

∴點B的坐標為(2，﹣2)，

∴ ，

解得， ，

∴此拋物線的解析式為y＝；

(2)如圖2，過點C作CQ⊥x軸于點Q，

∵OC⊥OB，∠AOB＝45°，

∴∠COA＝∠AOB＝45°，

∴CQ＝OQ，

∴=x，解得，x1＝0，x2＝6，

∴點C的坐標為(6，6)，

∵直線y＝kx把∠AOC分成的兩個角的度數之比恰好為1：2，

∴①當∠AOD＝30°時，過點D作DP⊥x軸于點P，

k＝=tan30°=，

②當∠COD＝30°時，如圖3，設CQ與OF的交點為K，過點D作DP⊥x軸于點P，過點K作KN⊥OC于N，

∴DP∥CQ，∠CNK＝∠ONK＝90°，

∴ ，

∴k＝ ，

又∵∠OCQ＝45°，

∴CN＝KN，CK＝，

∴OC＝ON+NC＝(+1)CN，

∵∠BOC＝90°，點B、C的坐標分別為(2，﹣2)，(6，6)∠COF＝∠AOB＝45°，

∴OB＝ ，OC＝，

∴ ，

∴CN＝3 ，

∴ ，

∴KQ＝CQ﹣CK＝6﹣(6-6)＝12﹣6，

∴k＝==2-，

(3)如圖4，連接BC，由垂線段最短可知BE+CF≤BC，

當且僅當直線y＝kx與BC垂直，即點E、F重合時，BE+CF＝BC，此時BE+CF取得最大值，

∴BE+CF＝=4，

D點的坐標為(3，﹣1.5)．

k＝﹣2．