Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，直線l與拋物線y=mx2+nx相交于A（1，3 ），B（4，0）兩點．

（1）求出拋物線的解析式；
（2）在坐標軸上是否存在點D，使得△ABD是以線段AB為斜邊的直角三角形？若存在，求出點D的坐標；若不存在，說明理由；
（3）點P是線段AB上一動點，（點P不與點A、B重合），過點P作PM∥OA，交第一象限內的拋物線于點M，過點M作MC⊥x軸于點C，交AB于點N，若△BCN、△PMN的面積S△BCN、S△PMN滿足S△BCN=2S△PMN ， 求出 的值，并求出此時點M的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵A（1，3），B（4，0）在拋物線y=mx2+nx的圖象上，

∴ ，解得 ，

∴拋物線解析式為y=﹣x2+4x；

（2）解：存在三個點滿足題意，理由如下：

當點D在x軸上時，如圖1，過點A作AD⊥x軸于點D，

∵A（1，3），

∴D坐標為（1，0）；

當點D在y軸上時，設D（0，d），則AD2=1+（3﹣d）2，BD2=42+d2，且AB2=（4﹣1）2+32=18，

∵△ABD是以AB為斜邊的直角三角形，

∴AD2+BD2=AB2，即1+（3﹣d）2+42+d2=18，解得d=4，或d=﹣1

∴D點坐標為（0，4）或（0，﹣1）；

綜上可知存在滿足條件的D點，其坐標為（1，0）或（0，4）或（0，﹣1）；

（3）解：如圖2，過P作PF⊥CM于點F，

∵PM∥OA，

∴Rt△ADO∽Rt△MFP，

∴ = =3，

∴MF=3PF，

在Rt△ABD中，BD=3，AD=3，

∴tan∠ABD=1，

∴∠ABD=45°，設BC=a，則CN=a，

在Rt△PFN中，∠PNF=∠BNC=45°，

∴tan∠PNF= =1，

∴FN=PF，

∴MN=MF+FN=4PF，

∵S△BCN=2S△PMN，

∴ a2=2× ×4PF2，

∴a=2 PF，

∴NC=a=2 PF，

∴ = = ，

∴MN= NC= a，

∴MC=MN+NC=（ +1）a，

∴M點坐標為（4﹣a，（ +1）a），

又M點在拋物線上，代入可得﹣（4﹣a）2+4（4﹣a）=（ +1）a，

解得a=3﹣ 或a=0（舍去），

OC=4﹣a= +1，MC=3+2 ，

∴點M的坐標為（ +1，3+2 ）．

【解析】（1）利用待定系數法來求解；
（2）分兩種情況來求解：點D在x軸上和點D在y軸上.當點D在x軸上時，過點A作AD⊥x軸于點D，易求D點的坐標；當點D在y軸上時，設D（0，d），，在Rt△ABD中利用勾股定理可求得d的值，課的答案；
（3）過P作PF⊥CM于點F，易證Rt△ADO∽Rt△MFP，從而得到MF=3PF，在Rt△ABD中和在Rt△PFN中利用三角函數得出MN=4PF，設BC=a，則CN=a，利用△BCN和△PMN之間的面積關系，進而表示出M的坐標，再根據M點在拋物線上求出a的值，進而得到答案.
【考點精析】根據題目的已知條件，利用勾股定理的概念和相似三角形的判定與性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．