Question

【題目】如圖，四邊形OBCD中的三個(gè)頂點(diǎn)在⊙O上，點(diǎn)A是優(yōu)弧BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、D重合）．

（1）當(dāng)圓心O在∠BAD內(nèi)部，∠ABO+∠ADO=50°時(shí)，∠A =　 　°；

（2）當(dāng)圓心O在∠BAD內(nèi)部，四邊形OBCD為平行四邊形時(shí)，求∠C的度數(shù)；

（3）當(dāng)圓心O在∠BAD外部，四邊形OBCD為平行四邊形時(shí)，請(qǐng)直接寫出∠ABO與∠ADO的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

【答案】⑴500；（2）1200；（3）|∠ABO﹣∠ADO|=60°

【解析】

（1）連接OA，如圖1，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠OAB=∠ABO，∠OAD=∠ADO，則∠BAD=∠OAB+∠OAD=∠ABO+∠ADO=50°；

（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得∠BOD=∠BCD，再根據(jù)圓周角定理得∠BOD=2∠BAD，則∠BCD=2∠BAD，然后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)由∠BCD+∠BAD =180°，易計(jì)算出∠BAD的度數(shù)，從而得出結(jié)論；

（3）討論：當(dāng)∠OAB比∠ODA小時(shí)，如圖2，與（1）一樣∠OAB=∠ABO，∠OAD=∠ADO，則∠OAD﹣∠OAB=∠ADO﹣∠ABO=∠BAD，由（2）得∠BAD=60°，所以∠ADO﹣∠ABO=60°；當(dāng)∠OAB比∠ODA大時(shí)，用樣方法得到∠ABO﹣∠ADO=60°．

（1）連接OA，如圖1．

∵OA=OB，OA=OD．

∵∠OAB=∠ABO，∠OAD=∠ADO，∴∠BAD=∠OAB+∠OAD=∠ABO+∠ADO=50°；

（2）∵四邊形OBCD為平行四邊形，∴∠BOD=∠BCD．

∵∠BOD=2∠BAD，∴∠BCD=2∠BAD．

∵∠BCD+∠BAD =180°，即3∠BAD =180°，∴∠BAD =60°，∴∠C=180°-60°=120°；

（3）當(dāng)∠OAB比∠ODA小時(shí)，如圖2．

∵OA=OB，OA=OD．

∵∠OAB=∠ABO，∠OAD=∠ADO，∴∠OAD﹣∠OAB=∠ADO﹣∠ABO=∠BAD，由（2）得∠BAD=60°，∴∠ADO﹣∠ABO=60°；

當(dāng)∠OAB比∠ODA大時(shí)，同理可得∠ABO﹣∠ADO=60°．

綜上所述：|∠ABO﹣∠ADO|=60°．