Question

【題目】如圖，在⊙O中，AB是⊙O的直徑，點D是⊙O上一點，點C是弧AD的中點，弦CE⊥AB于點F，過點D的切線交EC的延長線于點G，連接AD，分別交CF、BC于點P、Q，連接AC．給出下列結論：①GP=GD；②∠BAD=∠ABC；③點P是△ACQ的外心；④．其中正確的是______________(填序號)

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

①正確．想辦法證明∠GPD=∠GDP即可；

②錯誤，假設成立，推出矛盾即可；

③正確．想辦法證明PC=PQ=PA即可；

④正確．證明△APF∽△ABD，可得APAD=AFAB，證明△ACF∽△ABC，可得AC2=AFAB，證明△CAQ∽△CBA，可得AC2=CQCB，由此即可解決問題.

①正確．連接OD，

∵GD是切線，

∴DG⊥OD，

∴∠GDP+∠ADO=90°，

∵OA=OD，

∴∠ADO=∠OAD，

∵∠APF+∠OAD=90°，∠GPD=∠APF，

∴∠GPD=∠GDP，

∴GD=GP，故①正確；

②錯誤，假設∠BAD=∠ABC，則，

∵，

∴，顯然不可能，故②錯誤；

③正確．∵AB⊥CE，

∴，

∵，

∴，

∴∠CAD=∠ACE，

∴PC=PA，

∵AB是直徑，

∴∠ACQ=90°，

∴∠ACP+∠QCP=90°，∠CAP+∠CQP=90°，

∴∠PCQ=∠PQC，

∴PC=PQ=PA，

∵∠ACQ=90°，

∴點P是△ACQ的外心．故③正確；

④正確．連接BD．

∵∠AFP=∠ADB=90°，∠PAF=∠BAD，

∴△APF∽△ABD，

∴，

∴APAD=AFAB，

∵∠CAF=∠BAC，∠AFC=∠ACB=90°，

∴△ACF∽△ABC，

可得AC2=AFAB，

∵∠ACQ=∠ACB，∠CAQ=∠ABC，

∴△CAQ∽△CBA，可得AC2=CQCB，

∴APAD=CQCB．故④正確，

故答案為：①③④．