Question

【題目】綜合與探究

（1）操作發現：如圖1，點D是等邊△ABC邊BA上一動點（點D與點B不重合），連結DC，以DC為邊在CD上方作等邊△DCF，連結AF，你能發現線段AF與BD之間的數量關系嗎？證明你發現的結論．

（2）類比猜想：如圖2，當動點D運動至等邊△ABC邊BA的延長線上時，其余條件不變，猜想：（1）中的結論是否成立，并說明理由．

（3）拓展探究：如圖3.當動點D在等邊△ABC邊BA上運動時（點D與點B不重合），連結DC，以DC為邊在CD上方和下方分別作等邊△DCF和等邊△DCF′，連結AF，BF′，探究：AF、BF′與AB有何數量關系？并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）AF＝BD，證明見解析；（2）AF＝BD，理由見解析；（3）AF+BF′＝AB，理由見解析．

【解析】

（1）如圖①中中，結論：AF＝BD.證明△BCD≌△ACF（SAS）可得結論.

（2）如圖②中，結論：AF＝BD.證明△BCD≌△ACF（SAS）可得結論.

（3）如圖③中.結論：AF+BF′＝AB.利用全等三角形的性質解決問題即可.

解：（1）如圖①中中，結論：AF＝BD.

理由：∵△ABC，△DCF都是等邊三角形，

∴CB＝CA，CD＝CF，∠BCA＝∠DCF＝60°，

∴∠BCD＝∠ACF，

∴△BCD≌△ACF（SAS），

∴BD＝CF.

（2）如圖②中，結論：AF＝BD.

理由：∵△ABC，△DCF都是等邊三角形，

∴CB＝CA，CD＝CF，∠BCA＝∠DCF＝60°，

∴∠BCD＝∠ACF，

∴△BCD≌△ACF（SAS），

∴BD＝CF.

（3）如圖③中.結論：AF+BF′＝AB.

理由：∵△ABC，△DCF都是等邊三角形，

∴CB＝CA，CD＝CF，∠BCA＝∠DCF＝60°，

∴∠BCD＝∠ACF，

∴△BCD≌△ACF（SAS），

∴BD＝CF.

同法可證：△ACD≌△BCF′（SAS），

∴AD＝BF′，

∴AF+BF′＝BD+AD＝AB.