Question

如圖，PA是⊙O的切線，切點為A，割線PCB交⊙O于C、B兩點，半徑OD⊥BC，垂足為E，AD交PB于點F．
（1）PA與PF是否相等？______（填“是”或“否”）；
（2）若F是PB的中點，CF=1.5，則切線PA的長為______．

Answer 1

（1）是．
證明：∵PA是⊙O的切線，A為切點．
∴∠OAP=90°，
∴∠FAP+∠OAD=90°；
∵OD⊥BC，
∴∠DFE+∠D=90°；
又∵OA=OD，
∴∠D=∠OAD；
∴∠DFE=∠FAP=∠PFA；
∴PA=PF．

（2）∵PA是⊙O的切線，PCB是⊙O的割線，
∴PA²=PC•PB；
∵F為PB的中點，
∴PB=2PF=2PA．
∴PA²=（PA-CF）•2PA=（PA-1.5）•2PA；
∴PA²-3PA=0；
∴PA=3．