Question

【題目】綜合與探究：

如圖1，Rt△AOB的直角頂點O在坐標原點，點A在y軸正半軸上，點B在x軸正半軸上，OA＝4，OB＝2．將線段AB繞點B順時針旋轉90°得到線段BC，過點C作CD⊥x軸于點D，拋物線y＝ax2+3x+c經過點C，與y軸交于點E(0，2)，直線AC與x軸交于點H．

(1)求點C的坐標及拋物線的表達式；

(2)如圖2，已知點G是線段AH上的一個動點，過點G作AH的垂線交拋物線于點F(點F在第一象限)．設點G的橫坐標為m．

①點G的縱坐標用含m的代數式表示為　 　；

②如圖3，當直線FG經過點B時，求點F的坐標，判斷四邊形ABCF的形狀并證明結論；

③在②的前提下，連接FH，點N是坐標平面內的點，若以F，H，N為頂點的三角形與△FHC全等，請直接寫出點N的坐標．

Answer 1

【答案】(1)C(6，2)；拋物線解析式為y＝﹣x2+3x+2；(2)①﹣m+4；②四邊形ABCF是正方形，理由見解析；③點N坐標為(，)或(，)或(10，4)．

【解析】

（1）由線段AB旋轉90°得BC與CD⊥x軸可證得△BDC≌△AOB，故有BD=OA=4，CD=OB=2，求得點C坐標，進而由點E、C坐標用待定系數法即可求拋物線解析式．

（2）①由點A、C坐標用待定系數法求直線AC解析式，把點G橫坐標m代入即得到用m表示點G縱坐標．

②由AB=BC與BG⊥AC可得AG=CG，即點G為AC中點，根據中點坐標公式可求點G坐標，進而求直線BG解析式．聯立直線BG與拋物線解析式解方程組即求得點F坐標．過點F作PF⊥y軸于點P，延長DC交PF于點Q，根據勾股定理求得AB=BC=CF=AF=2，判斷四邊形ABCF是菱形．再由∠ABC=90°即證得菱形ABCF為正方形．

③由直線AC解析式求其與x軸交點H的坐標，用兩點間距離公式求CF、CH的長．設點N坐標為（s，t），用s、t的式子表示FN2、NH2．分類討論：若△FHC≌△FHN，則FN=FC，NH=CH，列得關于s、t的方程組，求解即得到點N坐標；若△FHC≌△HFN，則FN=CH，NH=FC，同理可求得點N坐標．

解：(1)∵OA＝4，OB＝2，

∴A(0，4)，B(2，0)，

∵線段AB繞點B順時針旋轉90°得到線段BC，

∴AB＝BC，∠ABC＝90°，

∴∠ABO+∠DBC＝∠ABO+∠OAB＝90°，

∴∠DBC＝∠OAB，

∵CD⊥x軸于點D，

∴∠BDC＝∠AOB＝90°，

在△BDC與△AOB中，

，

∴△BDC≌△AOB(AAS)，

∴BD＝OA＝4，CD＝OB＝2，

∴OD＝OB+BD＝6，

∴C(6，2)，

∵拋物線y＝ax2+3x+c經過點C、點E(0，2)，

∴ 解得：，

∴拋物線解析式為y＝﹣x2+3x+2.

(2)①∵A(0，4)，

∴設直線AC解析式為y＝kx+4，

把點C代入得：6k+4＝2，解得：k＝﹣，

∴直線AC：y＝﹣x+4，

∵點G在直線AC上，橫坐標為m，

∴yG＝﹣m+4，

故答案為：﹣m+4．

②∵AB＝BC，BG⊥AC，

∴AG＝CG，即G為AC中點，

∴G(3，3)，

設直線BG解析式為y＝gx+b，

∴ ，解得：，

∴直線BG：y＝3x﹣6，

∵直線BG與拋物線交點為F，且點F在第一象限，

∴ 解得： (舍去)，

∴F(4，6)；

判斷四邊形ABCF是正方形，理由如下：

如圖1，過點F作FP⊥y軸于點P，PF延長線與DC延長線交于點Q，

，

∴PF＝4，OP＝DQ＝6，PQ＝OD＝6，

∴AP＝OP﹣OA＝6﹣4＝2，FQ＝PQ﹣PF＝6﹣4＝2，CQ＝DQ﹣CD＝6﹣2＝4，

∴AF＝，FC＝，

∵BC＝AB＝，

∴AB＝BC＝CF＝AF，

∴四邊形ABCF是菱形，

∵∠ABC＝90°，

∴菱形ABCF是正方形.

③∵直線AC：y＝﹣x+4與x軸交于點H，

∴﹣x+4＝0，解得：x＝12，

∴H(12，0)，

∴FC2＝(6﹣4)2+(2﹣6)2＝20，CH2＝(12﹣6)2+(0﹣2)2＝40，

設點N坐標為(s，t)，

∴FN2＝(s﹣4)2+(t﹣6)2，NH2＝(s﹣12)2+(t﹣0)2，

如圖2，若△FHC≌△FHN，則FN＝FC，NH＝CH，

，

∴ 解得：(即點C)，

∴N，

如圖3，4，若△FHC≌△HFN，則FN＝CH，NH＝FC，

∴，解得：，

∴N，

綜上所述，以F，H，N為頂點的三角形與△FHC全等時，點N坐標為(，)或．