Question

【題目】在每個小正方形的邊長為1的網格中，等腰直角三角形ACB與ECD的頂點都在網格點上，點N、M分別為線段AB、DE上的動點，且BN=EM． （Ⅰ）如圖①，當BN= 時，計算CN+CM的值等于
（Ⅱ）當CN+CM取得最小值時，請在如圖②所示的網格中，用無刻度的直尺，畫出線段CN和CM，并簡要說明點M和點N的位置是如何找到的（不要求證明）．

Answer 1

【答案】（1）當BN=EM= 時，點N和點M在格點上， ∴CN+CM= + = + ；
⑵如圖所示，取格點P、Q，使得PB=CE，PB⊥BC，QE=CB，QE⊥AC，
連接CP交AB于N，連接CQ交DE于M，則線段CN和CM即為所求．

理由如下：根據等腰直角三角形ACB與ECD的頂點都在網格點上，可得∠PBN=∠CEM=45°，∠CBN=∠QEM=45°，而BN=EM，
故△BPN≌△ECM，△CBN≌△QEM，
∴PN=CM，CN=QM，
∴當P，N，C三點共線時，CM+CN=PN+CN=PC（最短），
當Q，M，C三點共線時，CM+CN=CM+MQ=QC（最短），
∴點M和點N的位置符合題意
【解析】（1）根據當BN=EM= 時，點N和點M在格點上，運用勾股定理進行計算即可得到CN+CM的值；（2）取格點P、Q，使得PB=CE，PB⊥BC，QE=CB，QE⊥AC，連接CP交AB于N，連接CQ交DE于M，則根據全等三角形的對應邊相等，以及兩點之間線段最短，可得線段CN和CM即為所求．
【考點精析】本題主要考查了勾股定理的概念的相關知識點，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2才能正確解答此題．