Question

3．如圖（a）所示，A、E、F、C在一條直線上，AE=CF，過E、F分別作DE⊥AC、BF⊥AC，若AB=CD．

（1）求證：BD平分EF（即EG=FG）．
（2）若將DE向右平移、將BF向左平移，得到圖（b）所示圖形，在其余條件不變的情況下，（1）中的結論是否仍然成立？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）要證明BD平分EF（即EG=FG），可證明EG與FG所在的三角形全等（即證明△EGD≌△FGB），由于DE⊥AC、BF⊥AC，∠BGF與∠DGE是對頂角的條件，所以解決問題的關鍵是證明有一條邊相等（DE=BF），可通過證明△EDC與△FBA全等來實現，說明△EDC≌△FBA，通過AE=CF證明CE=AF是關鍵；
（2）平移后△EDC與△FBA仍然相似，可仿照（1）進行推理證明．

解答 解：（1）∵AE=CF，EF=EF，
∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE
∵DE⊥AC、BF⊥AC，
∴∠DEG=∠BFG=90°
在Rt△ABF和Rt△CED中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=CE}\\{AB=CD}\end{array}\right.$
∴△ABF≌△CED．
∴ED=BF，
∵在△DEG和△BFG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EGD=∠BGF}\\{∠DEG=∠BFG}\\{DE=BF}\end{array}\right.$
∴△DEG≌△BFG，
∴EG=FG，即BD平分EF．
（2）BD仍然平分EF．
理由：∵AE=CF，EF=EF，
∴AE-EF=CF-EF，即AF=CE
∵DE⊥AC、BF⊥AC，
∴∠DEG=∠BFG=90°
在Rt△ABF和Rt△CED中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=CE}\\{AB=CD}\end{array}\right.$
∴△ABF≌△CED．
∴ED=BF，
∵在△DEG和△BFG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EGD=∠BGF}\\{∠DEG=∠BFG}\\{DE=BF}\end{array}\right.$
∴△DEG≌△BFG，
∴EG=FG，即BD平分EF

點評 本題考查了三角形的判定和三角形的性質．解決本題亦可連接EB、FD，證明四邊形BEDF是平行四邊形，利用平行四邊形的性質說明BD平分EF．