Question

如圖，已知點P是邊長為5的正方形ABCD內的一點，連結PA，PB，PC，若PA=2，PB=4，∠APB=135°．
（1）將△PAB繞點B順時針旋轉90°，畫出△P′CB的位置．
（2）①求PC的長；
②求△PAB旋轉到△P′CB的過程中邊PA所掃過區域的面積．

Answer 1

（1）如圖所示：△P′CB即為所求；

（2）①連接PP′，
∵將△PAB繞點B順時針旋轉90°，
∴PB=P′B=4，A，P，P′在一條直線上，∠PP′C=∠BP'C-∠BP'P=135°-45°=90°，
∵∠APB=135°，
∴∠BPP′=45°，
∴△PBP′是等腰直角三角形，
∴PP′=4

2

，
∵P′C=PC=2，
∴PC=

(4 2 )2+22

=6；

②△PAB旋轉到△P′CB的過程中邊PA所掃過區域的面積為：
S_扇形ABC+S_△BCP′-S_扇形PBP′-S_△ABP=S_扇形ABC-S_扇形PBP′=

90π(52-42)

360

=

9

4

π．