Question

【題目】已知：如圖，BD是半圓O的直徑，A是BD延長線上的一點，BC⊥AE，交AE的延長線于點C，交半圓O于點E，且E為的中點．

(1)求證：AC是半圓O的切線；

(2)若AD=6，AE=6，求BC的長．

Answer 1

【答案】(1)可證明∠AEO=∠C=90°．即DE⊥AC．又OE為半圓O的半徑，

∴AC是半圓O的切線．(2)BC=4．

【解析】

試題解：(1)連接OE。

∵E為的中點，

∴=．

∴∠OBE=∠CBE．

∵OE=OB,

∴∠OEB=∠OBE．

∴∠OEB=∠CBE．

∴OE∥BC．

∵BC⊥AC，∴∠C=90°.

∴∠AEO=∠C=90°．即DE⊥AC．

又OE為半圓O的半徑，

∴AC是半圓O的切線．

(2)設⊙O的半徑為x

∵OE⊥AC，

∴(x+6)2-(6)2=x2．

∴x=3．

∴AB=AD+OD+OB=12．

∵OE∥BC，

∴△AOE～△ABC．

∴=

即=

∴BC=4．。