Question

【題目】如圖，⊙O內(nèi)切于Rt△ABC，點(diǎn)P、點(diǎn)Q分別在直角邊BC、斜邊AB上，PQ⊥AB，且PQ與⊙O相切，若AC＝2PQ，則tan∠B的值為（　　）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

設(shè)⊙O的半徑是R，PE=PF=x，BQ=y，連接OD，OG，OF，OE，得出正方形CDOE和OGQF，推出OD=CD=CE=OE=GQ=QF=R，求出y=2R，x=R，根據(jù)銳角三角函數(shù)值求出即可．

解：

設(shè)⊙O的半徑是R，PE=PF=x，BQ=y，
連接OD，OG，OF，OE，
∵⊙O內(nèi)切于Rt△ABC，
∴∠ODC=∠OEC=90°=∠C，AD=AG，
∵OD=OE，
∴四邊形CDOE是正方形，
∴OD=CD=CE=OE=R，
同理OG=GQ=FQ=OF=R，
則PQ=CP，AC=AQ，
∵PQ⊥AB，∠C=90°，
∴∠C=∠PQB=90°，
∵∠B=∠B，
∴△BQP∽△BCA，

根據(jù)BG=BE得：y+R=2y-R，
解得：y=2R，
在Rt△PQB中，由勾股定理得：PQ2+BQ2=BP2，
即（2R）2+（R+x）2=（4R-R-x）2，

解得：，

即PQ=，BQ=2R.

tanB=.