Question

【題目】如圖，已知在平面直角坐標系xOy中，點A（4，0）是拋物線y=ax2+2x﹣c上的一點，將此拋物線向下平移6個單位后經過點B（0，2），平移后所得的新拋物線的頂點記為C，新拋物線的對稱軸與線段AB的交點記為P．

（1）求平移后所得到的新拋物線的表達式，并寫出點C的坐標；
（2）求∠CAB的正切值；
（3）如果點Q是新拋物線對稱軸上的一點，且△BCQ與△ACP相似，求點Q的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：點B（0，2）向上平移6個單位得到點B'（0，8），

將A（4，0），B'（0，8）分別代入y=ax2+2x﹣c，得

，

解得 ，

∴原拋物線為y=﹣x2+2x+8，向下平移6個單位后所得的新拋物線為y=﹣x2+2x+2，

∴頂點C的坐標為（1，3）

（2）

解：如圖2，由A（4，0），B（0，2），C（1，3），得

AB2=20，AC2=18，BC2=2，

∴AB2=AC2+BC2，

∴∠ACB=90°，

∴tan∠CAB= = = ；

（3）

解：如圖3，設拋物線的對稱軸x=1與x軸交于點H，

由 = = ，得PH= AH= ，

∴P（1， ），

由HA=HC=3，得∠HCA=45°，

∴當點Q在點C下方時，∠BCQ=∠ACP，

因此△BCQ與△ACP相似分兩種情況：

①如圖3，當 = 時， = ，

解得CQ=4，

此時Q（1，﹣1）；

②如圖4，當 = 時， = ，

解得CQ= ，

此時Q（1， ）．

【解析】（1）先根據點B（0，2）向上平移6個單位得到點B'（0，8），將A（4，0），B'（0，8）分別代入y=ax2+2x﹣c，得原拋物線為y=﹣x2+2x+8，向下平移6個單位后所得的新拋物線為y=﹣x2+2x+2，據此求得頂點C的坐標；（2）根據A（4，0），B（0，2），C（1，3），得到AB2=20，AC2=18，BC2=2，進而得出AB2=AC2+BC2 ， 根據∠ACB=90°，求得tan∠CAB的值即可；（3）先設拋物線的對稱軸x=1與x軸交于點H，根據 = = ，求得PH= AH= ，進而得到P（1， ），再由HA=HC=3，得∠HCA=45°，根據當點Q在點C下方時，∠BCQ=∠ACP，因此△BCQ與△ACP相似分兩種情況，根據相似三角形的性質即可得到點Q的坐標．
【考點精析】利用二次函數的概念和二次函數的圖象對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關系：一般式：y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c為常數)，則稱y為x的二次函數；二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點．