Question

【題目】在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，直角三角板含45°角的頂點(diǎn)P在邊BC上移動(dòng)（點(diǎn)P不與B，C重合），如圖，直角三角板的一條直角邊始終經(jīng)過點(diǎn)A，斜邊與邊AC交于點(diǎn)Q，當(dāng)△ABP為等腰三角形時(shí)，CQ的長為_____．

Answer 1

【答案】1或2﹣2．

【解析】

由等腰直角三角形的性質(zhì)得BCAB＝2，∠B＝∠C＝45°，再證明∠BAP＝∠CPQ，則可判斷△CPQ∽△BAP，所以，分兩種情況討論：當(dāng)PB＝PA時(shí)，易得AP⊥BC，BP＝CPBC，利用相似比可計(jì)算出CQ＝1；當(dāng)BP＝AB＝2時(shí)，易得PC＝22，利用相似比可計(jì)算出此時(shí)CQ＝22．

∵△ABC為等腰直角三角形，∴BCAB＝2，∠B＝∠C＝45°．

∵∠APC＝∠B+∠BAP，即∠APQ+∠CPQ＝∠B+∠BAP，而∠APQ＝45°，∴∠BAP＝∠CPQ，∴△CPQ∽△BAP，∴．分兩種情況討論：

當(dāng)PB＝PA時(shí)，則AP⊥BC，此時(shí)BP＝CPBC，∴CQ1；

當(dāng)BP＝AB＝2時(shí)，此時(shí)PC＝22，∴CQ2．

綜上所述：CQ的長為1或22．

故答案為：1或22．