Question

【題目】如圖，在Rt△ABE中，∠B＝90°，以AB為直徑的⊙O交AE于點C，CE的垂直平分線FD交BE于D，連接CD．

（1）判斷CD與⊙O的位置關系，并證明；

（2）若AC·AE＝12，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）CD與⊙O相切；（2）.

【解析】

（1）連接OC，由于FD是CE的垂直平分線，所以∠E=∠DCE，又因為∠A=∠OCA，∠A+∠E=90°，所以∠OCA+∠DCE=90°，所以CD與⊙O相切．

（2）連接BC，易知∠ACB=90°，所以△ACB∽ABE，所以，由于ACAE=12，所以AB=2. OA=AB=

（1）答：CD與⊙O相切．

證明：如圖1，連接OC．

∵ FD是CE的垂直平分線，

∴ DC=DE．

∴ ∠E=∠DCE．

∵ OA=OC，

∴ ∠A=∠OCA．

又∵在Rt△ABE中，∠B＝90°，

∴ ∠A+∠E=90°．

∴∠OCA+∠DCE＝90°．

∴ OC⊥CD．

∴ CD與⊙O相切．

（2）如圖2，連接BC．

∵ AB是⊙O直徑，

∴ ∠ACB=90°．

∴ △ACB∽△ABE．

∴ ．

∵ AC·AE＝12，

∴ ．

∴ ．

∴ ．