Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，點E是線段AC上的一個動點且＝k（0＜k＜1），點F在線段BC上，且DEFH為矩形；過點E作MN⊥BC，分別交AD，BC于點M，N．

（1）求證：△MED∽△NFE；

（2）當EF＝FC時，求k的值．

（3）當矩形EFHD的面積最小時，求k的值，并求出矩形EFHD面積的最小值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）矩形EFHD的面積最小值為，k＝．

【解析】

（1）由矩形的性質得出∠B＝90°，AD＝BC＝4，DC＝AB＝3，AD∥BC，證出∠EMD＝∠FNE＝90°，∠NEF＝∠MDE，即可得出△MED∽△NFE；

（2）設AM＝x，則MD＝NC＝4﹣x，由三角函數得出ME＝x，得出NE＝3﹣x，由相似三角形的性質得出＝，求出NF＝x，得出FC＝4﹣x﹣x＝4﹣x，由勾股定理得出EF＝＝，當EF＝FC時，得出方程4﹣x＝，解得x＝4（舍去），或x＝，進而得出答案；

（3）由相似三角形的性質得出＝＝，得出DE＝EF，求出矩形EFHD的面積＝DE×EF＝EF2＝＝，由二次函數的性質進而得出答案．

（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠B＝90°，AD＝BC＝4，DC＝AB＝3，AD∥BC，

∵MN⊥BC，

∴MN⊥AD，

∴∠EMD＝∠FNE＝90°，

∵四邊形DEFH是矩形，

∴∠MED+∠NEF＝90°，

∴∠NEF＝∠MDE，

∴△MED∽△NFE；

（2）解：設AM＝x，則MD＝NC＝4﹣x，

∵tan∠DAC＝tan∠MAE＝＝＝，

∴ME＝x，

∴NE＝3﹣x，

∵△MED∽△NFE，

∴＝，即＝，

解得：NF＝x，

∴FC＝4﹣x﹣x＝4﹣x，EF＝＝，

當EF＝FC時，4﹣x＝，

解得：x＝4或x＝，

由題意可知x＝4不合題意，

當x＝時，AE＝，

∵AC＝＝＝5，

∴k＝＝；

（3）解：由（1）可知：△MED∽△NFE，

∴，

∴DE＝EF，

∴矩形EFHD的面積＝DE×EF＝EF2＝＝

∴當x﹣＝0時，即x＝時，矩形EFHD的面積最小，最小值為：，

∵cos∠MAE＝＝＝，

∴AE＝AM＝×＝，

此時k＝＝．