Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+x+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，A點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣3，0），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)C坐標(biāo)為（0．﹣6），連接BC，點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D，點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0），過點(diǎn)P作x軸的垂線l交拋物線于點(diǎn)Q，交直線BD于點(diǎn)M．

（1）求二次函數(shù)解析式；

（2）點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)，若﹣6≤m≤2時(shí)，求線段MQ長(zhǎng)度的最大值．

（3）點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，N為平面內(nèi)一點(diǎn)，使得點(diǎn)B、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？如果存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N坐標(biāo)；不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+x﹣6；（2）MQ的最大值為16；（3）N坐標(biāo)為（﹣，﹣）或（﹣2，0）或（7.2﹣3.6）或（2，﹣12）．理由見解析.

【解析】

（1）把A點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，0）、點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，-6）代入二次函數(shù)表達(dá)式，解得：a=1，c=-6，故：二次函數(shù)解析式為y=x2+x-6；

（2）點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D（0，6），MQ=yM-yQ=-3m+6-（m2+m-6）=-（m+2）2+16，即可求解；

（3）①當(dāng)BC邊為菱形的邊時(shí)，N點(diǎn)應(yīng)該在x軸，關(guān)于B點(diǎn)對(duì)稱，即點(diǎn)N坐標(biāo)為（-2，0）；②當(dāng)BC邊為菱形的對(duì)角線時(shí)，作BC的垂直平分線MH，直線BD與直線MH交點(diǎn)即為M坐標(biāo)為，即可求解．

（1）把A點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣3，0）、點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，﹣6）代入二次函數(shù)表達(dá)式，

解得：a＝1，c＝﹣6，

故：二次函數(shù)解析式為y＝x2+x﹣6；

（2）點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D（0，6），

點(diǎn)B、D坐標(biāo)所在的直線方程為：y＝﹣3x+6，

則：點(diǎn)M坐標(biāo)為（m，﹣3m+6），點(diǎn)Q為（m，m2+m﹣6），

∴MQ＝yM﹣yQ＝﹣3m+6﹣（m2+m﹣6）＝﹣（m+2）2+16，

在﹣6≤m≤2時(shí)，函數(shù)頂點(diǎn)處，取得最大值，

即MQ的最大值為16；

（3）①當(dāng)BC邊為菱形的邊時(shí)，

情況一：N點(diǎn)應(yīng)該在x軸，關(guān)于B點(diǎn)對(duì)稱，即點(diǎn)N坐標(biāo)為（﹣2，0），

情況二：BC、MB是菱形兩條鄰邊，且BC＝BM，則點(diǎn)N坐標(biāo)為（2，﹣12），

情況三：BC、CM為鄰邊時(shí)，則點(diǎn)N坐標(biāo)為（7.2﹣3.6）；

②當(dāng)BC邊為菱形的對(duì)角線時(shí)，作BC的垂直平分線MH，

則直線DB與MH的交點(diǎn)為M，M關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)為N，H為BC的中點(diǎn)，

∴H坐標(biāo)為（1，﹣3），

直線BD的方程為：y＝﹣3x+6，直線MH的方程為：y=-x-，

聯(lián)立以上兩個(gè)方程，解得：M坐標(biāo)為（，﹣），

同理得N坐標(biāo)為（﹣，﹣），

故：N坐標(biāo)為（﹣，﹣）或（﹣2，0）或（7.2﹣3.6）或（2，﹣12）．