Question

【題目】如圖(1)，在中，，，，若動點P從點A開始沿著的路徑運動，且速度為每秒2cm，設點P運動的時間為t秒.

(1)當時，的面積是___________；

(2)如圖(2)當t為何值時，AP平分；

(3)當t為何值時，為等腰三角形.

Answer 1

【答案】（1）45；（2）；（3）t=2.5秒或25或26.5或23.75.

【解析】

（1）當t=3時，求出AP的長，再根據三角形面積公式即可得出結果；

（2）作PD⊥AB于D，由勾股定理求出AB的長，由角平分線性質得出PD=PC=2t-20（cm），AD=AC=20cm，求出BD的長，得出PB=BC-PC=35-2t（cm），在Rt△PBD中，由勾股定理求出t的值即可；

（3）由于點P是動點，故應分點P在AC上與AB上兩種情況進行討論，根據等腰三角形的性質和相似三角形的判定與性質即可得出結果．

（1）當t=3時，AP=2×3=6（cm），

△ABP的面積=AP×BC=×6×15=45（cm2）；

故答案為：45cm2；

（2）作PD⊥AB于D，如圖2所示：

∵在△ABC中，∠C=90°，AC=20cm，BC=15cm，

∴AB=（cm），

∵AP平分∠CAB，

∴PD=PC=2t-20（cm），AD=AC=20cm，

∴BD=AB-AD=5cm，

∴PB=BC-PC=15-（2t-20）=35-2t（cm），

在Rt△PBD中，由勾股定理得：BD2+PD2=PB2，

即52+（2t-20）2=（35-2t）2，

解得：t=，

∴當t為時，AP平分∠CAB；

（3）當點P在AC上時，CP=CB=15cm，

∴AP=AC-CP=5cm，

∴t=2.5秒；

當點P在AB上時，分三種情況：

若BP=BC=15cm，t=（20+15+15）÷2=25（秒）；

若CP=BC=15cm，

作CM⊥AB，則BM=PM，

∵∠B=∠B，∠BMC=∠BCA，

∴△ABC∽△CBM，

∴，即，

解得：CM=12cm，BM=9cm，

∴PB=2BM=18cm，

∴t=（20+15+18）÷2=26.5（秒）；

若PC=PB，則∠B=∠BCP，

∵∠B+∠A=90°，∠BCP+∠ACP=90°，

∴∠A=∠ACP，

∴AP=CP=BP=AB=12.5cm，

∴t=（20+15+12.5）÷2=23.75（秒）；

綜上所述，當t=2.5秒或25或26.5或23.75秒時，△BCP為等腰三角形．