Question

【題目】如圖，在中，，，．點從點出發，沿向終點運動，同時點從點出發，沿射線運動，它們的速度均為每秒5個單位長度，點到達終點時，、同時停止運動．當點不與點、重合時，過點作于點，連結，以、為鄰邊作.設與重疊部分的面積為，運動時間為秒．

（1）用含的代數式表示的長為________；

（2）是否存在某一時刻，使四邊形為矩形，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；

（3）時，求與的函數關系式．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，；（3）與之間的函數關系式為．

【解析】

（1）根據三角函數即可計算出PN的長度；

（2）當口POMN為矩形時，由PN⊥AB可得PQ//AB，再根據平行線分線段成比例定理可得，最后計算即可；

（3）分在三角形內部時和有部分在外邊時，分別由三角函數可計算各圖形中的高，最后運用三角形的面積公式解答即可．

解：（1）∵在Rt△ABC中，C=90°，AC=20，BC=15.

∴AB=

∴sin∠CAB=

由題可知AP=5t.

則PN=AP·sin∠CAB=5t×=3t.

故答案為：；

（2）當為矩形時，，

∵，

∴，

∴，

由題意可知，，

∴，

解得；，

即當為矩形時.

（3）

①如圖所示.在三角形內部時.延長交于點，

由（1）題可知：，，

，，.

∴，

，

，

∵在三角形內部時.有，

∴，

∴.

∴.

∴當時，與重疊部分圖形為，與之間的函數關系

式為.

②如圖所示.當時，與重疊部分圖形為梯形，

即：，

解得：，

與重疊部分圖形為梯形的面積

當，.

綜上，